К.р. №1 4 вариант
.docВариант 4
№4
Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
Вычислим смешанное произведение векторов
Поскольку смешанное произведение этих векторов не равно нулю, то они не компланарны. Следовательно, они образуют базис.
Найдем координаты вектора в этом базисе:
№14
Даны координаты вершин пирамиды . Найти
-
Длину ребра ;
-
Угол между ребрами и ;
-
Уравнение плоскости ;
-
Площадь грани ;
-
Объем пирамиды;
-
Уравнение прямой ;
-
Уравнение высоты, опущенной из вершины на плоскость .
-
Угол между ребром и гранью ;
;;;.
Решение:
-
Найдем координаты вектора :
.
Длина ребра равна длине вектора :
.
-
Найдем координаты вектора :
.
Скалярное произведение векторов и равно:
.
Длина ребра равна длине вектора :
.
Тогда искомый угол равен:
-
Уравнение плоскости :
-
Найдем координаты вектора :
.
Площадь грани будет равно половине модуля векторного произведения векторов и :
5) Объем пирамиды будет равен одной шестой части модуля смешанного произведения векторов , и :
.
6) Уравнение прямой :
.
7) Направляющий вектор высоты, опущенной из вершины на плоскость , будет равен векторы нормали к плоскости :
.
Тогда уравнение этой высоты:
8) Угол между прямой и гранью :
№24
Составить уравнение линии, каждая точка которой находится вдвое ближе к точке , чем к точке .
Решение:
Ответ: .
№34
Доказать совместность данной системы линейных уравнений и решить её тремя методами: 1) методом Гаусса; 2) средствами матричного исчисления (с помощью обратной матрицы).
Решение:
Вычислим определить матрицы этой системы:
.
Поскольку количество неизвестных совпадает с количеством уравнений и определитель матрицы системы не равен нулю, то данная система является совместной.
1) Решим систему методом Гаусса
2)
Ответ: .
№44
Найти общее решение системы линейных уравнений.
Решение:
Определим ранг матрицы системы:
Ранг матрицы системы равен двум. Размерность пространства решений равна разности между числом неизвестных и рангом матрицы системы. Получаем 4-2=2.
Запишем систему в эквивалентном виде:
Для начала возьмем . Получаем:
Или.
Возьмем . Получаем:
Или.
№54
Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей:
.
Решение:
Найдем собственные значения этой матрицы:
.
Найдем собственные векторы:
.
№64
Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка и построить её в декартовой системе координат.
.
Решение:
Запишем матрицу квадратичной формы:
.
Найдем собственные значения этой матрицы:
.
Получаем:
- каноническое уравнение эллипса.