К.р. №1 20 вариант

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра программного обеспечения информационных технологий

Факультет ФНиДО

Специальность ПОИТ

Контрольная работа № 1

по дисциплине «Высшая математика»

Вариант № 10

Выполнил студент: Ткаченко Дмитрий

группа 191003

Зачетная книжка 191003-20

Минск 2011

1. Даны четыре вектора a(a1,a2,a3), b(b1,b2,b3), c(c1,c2,c3) и d(d1,d2,d3), заданные в прямоугольной декартовой системе координат. Требуется:

1)вычислить скалярное произведение b-(2a-c);

2)вычислить векторное произведение c*(a-3b);

3)показать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.

a (6;-2; 2); b (2; 1; -1); c (1; -3; 2); d (5; -20; 15)

Находим вектор 2a-c: a = (6; -2; 2), 2a = (12; -4; 4), 2a-c = (11; -7; 2),

b - (2a-c) = (2-11) + (1+7) + (1-2) = -9+8+1=0.

Находим a-3b: b= (2; 1; -1), 3b = (6; 3;-3), a-3b = (6-6) + (-2-3) + (2+5)=

(0; -5; 7),

c · (a-3b) = = - + = -21-(-5) · 2-

(7-0) + (-5-0) = -11-7-5

c · (a-3b) = (-11; -7; -5)

(,,) = = -6+(2·5)+2·(-7) = -10≠0

Значит, векторы , , некомпланарные и образуют базис, в котором вектор может быть представлен в виде линейной комбинации базисных векторов, а именно = + +

∆ = = = -6.

∆_α = = 5(2-3) – 2(-40+45) +1(20-15) = -5-10+5=-10

∆_β = = 5(-4+6) – 6(-40+45) + 1(-40+30) = 10-30-10=-3

∆_γ = = 5(2-2) – 6(20-15) + 2(-40+30) = 0-30-20= -50

α = = = 1

β = = = 3

γ = = = 5

Значит, = +3+5.

2. Даны координаты вершин пирамиды A₁A₂A₃A_4. Найти

1) длину ребра A₁A₂

2) уравнение прямой A₁A₂

3) угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₄

4) уравнение плоскости A₁A₂A₃

5) угол между ребром A₁A₄ и гранью A₁A₂A₃

6) уравнение высоты, опущенной из вершины A₄ на грань A₁A₂A₃

7) площадь грани A₁A₂A₃

8) объём пирамиды

9) сделать чертеж.

1. d=

A₁A₂ = = =

2. ==

= =

3. =, где (, ) – скалярное произведение векторов и .

= (-1; -5; 5); || = =

= (1; -3; 2); || = = =

(,) = (-1) ·1 + (-5) · (-3) + 5·2= -1+15+10=24

=, =arccos () = - arccos

= 0

= 0

= 0

-18 (x-6) – 4 (y-5) + 16 (z-2) = 0

-18x + 108 - 4y + 20 + 16z – 32 = 0

-18x – 4y + 16z + 96 = 0

5. = , = (1; -3; 2); (-18; - 4; 16)

= = = ;

=arcsin

6. = =

A₄ (7; 3; 0); = (-18; -4; 16)

7. S_∆ = |·| = (-4; -5; 5)

x =

= 5·(-5) – 5·(-5)i - 5·(-1)-5·(-4)j + (-1)·(-5) – (-5) · (-4) k = 25j – 15k

S_∆ |25-15| = 5

8. (,,)=

V = |(_,,)| = · mod =

z

9. Чертёж.

y

x

3. Найти координаты точки M’, симметричной точке M(-2; 0; 3) относительно плоскости 2x-2y+10z+1=0.

= (2; -2; 10) = =

_{2 · (2t-2) – 2 · (-2t) + 10 (10t+3) +1 =0}

_{108t +27 = 0}

_{108t= - 27}

_{t= - ¼ => x = -5/2; y = ½; z = ½}

_{(-2 + xm1) /2 = -5/2 => xm1 = 3}

_{(0 + ym1) /2 = 1/2 => ym1 = 1}

_{(3 + zm1) /2 = 1/2 => zm1 = 2}

_{Ответ: M’ (3, 1, 2).}

_{4) Составить уравнение линии, каждая точка которой является основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через точку A(2,0). Привести полученное уравнение к каноническому виду и указать тип линии, описываемой этим уравнением.}

_{Если M(x,y) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, проходящую через точку A(2,0), векторы OM(x,y) и AM(x-2,y) будут ортогональны, т.е. их скалярное произведение равно 0.}

_{x (x-2) + y/2=0}

_{(x-1)/2+y/2 = 1}

_2y=2(x-1)-1

_2y=2x-2-1

_2y=2x-3

_y=x-3