2. Введение в анализ

71. Построить график функции преобразованием графика функцииy=sinx.

Записав данную функцию в виде замечаем, что у неё А=3,.

1. Строим одну волну синусоиды и отмечаем на ней несколько точек.

2. Увеличивая в три раза ординаты выбранных точек графика функции и оставляя неизменными абсциссы, строим график функции y=3sinx.

3. Увеличивая в 2 раза абсциссы точек графика функции y=3sinx и сохраняя неизменными ординаты, строим график функции .

4. Перенося точки графика функции в направлении оси абсцисс на 1/2 единицы масштаба этой оси вправо, строим искомый график функции .

y=sinx

y=3sinx

81. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам начиная от φ=0 до φ=2π и придавая φ значения через промежуток π/8; 2) найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у которой начало совпадает с плюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью и по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить, какая это линия.

1)

φ	r
0	–
π/8	39,41
π/4	10,24
3π/8	4,86
π/2	3,00
5π/8	2,17
3π/4	1,76
7π/8	1,56
π	1,50
9π/8	1,56
5π/4	1,76
11π/8	2,17
3π/2	3,00
13π/8	4,86
7π/4	10,24
15π/8	39,41
2π	–

2) Найдем уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат

Подставим это значение в уравнение линии:

Это уравнение данной линии в декартовой системе координат.

Эта линия является параболой с центром в точке (,0).

91. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя:

а)

б)

в)

г)

101. Дана функция и два значения аргумента х₁=3, х₂=5. Требуется: установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений х; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы при приближении к точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж..

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;5),(5;+∞).

Исследуем поведение функции в точках х₁=3, х₂=5. Найдём односторонние пределы.

При х=3 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. При х=5 функция имеет бесконечные пределы, значит, в этих точках функция разрывна.

111. Задана функция y=f(x) различными аналитическими выражениями для различных областей изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют. Сделать чертеж.

Данная функция определена и непрерывна на интервалах (-∞;1], (1,3],(3;+∞), где она задана непрерывными элементарными функциями. Исследуем поведение функции. В точках перехода от одного аналитического выражения к другому, т.е. в точках х=1 и х=3. Найдём односторонние пределы.

При х=1 функция имеет одинаковые односторонние пределы, значит, в этой точке функция непрерывна. Т.к. односторонние пределы при х=3 различны, то функция терпит в точке разрыв. А т.к. односторонние пределы конечны, то х=3 – точка разрыва первого рода. Функция имеет скачок в этой точке равный 5-6=-1.

График этой функции: