4. Дифференцирование изображения.

Если то

Действительно, Согласно теореме 2 §1, а это означает, что Обобщая это свойство, найдем

Пример 4. Найти изображение

Решение.

Итак, Аналогично найдем

5. Дифференцирование оригинала. Если и оригинал, то Действительно,

Обобщая это свойство, запишем

Пример 5. Решить задачу Коши:

Решение. Пусть тогда и вместо дифференциального уравнения получим алгебраическое Решим его.

решение задачи Коши.

6. Интегрирование оригинала. Если то Действительно, пусть Тогда и по свойству 5 т.е. Свойство доказано.

Пример 6. Найти переходную функцию цепи, состоящей из последовательно соединенных сопротивления емкости С и индукции (см. рис. 2).

Решение.

(1)

где i(t) - ток.

Переходной функцией называется отклик электрической цепи на единичное воздействие при нулевых начальных условиях. В нашем случае это решение уравнения (1) при Пусть Найдем изображение уравнения (1).

операторный закон Ома,

операторное сопротивление (импеданс цепи).

изображение тока. Чтобы найти ток (оригинал), воспользуемся теоремой обращения

(2)

В нашем случае Пусть тогда Подставляя все это в (2), получим переходную функцию

(3)

Согласно теореме 3 §1 изображение является аналитической функцией в правой полуплоскости. Поэтому в интеграле (3) выберем таким, чтобы все особые точки подынтегральной функции были левее прямой Используя лемму 3 и основную теорему о вычетах (см. §7, гл.1), вычислим интеграл (3)

7. Интегрирование изображения. Если и оригинал, то Действительно, пусть

Тогда по свойству 4 получим или Интегрируя последнее равенство, найдем или Свойство доказано.

Пример 7. Найти изображение оригинала

Решение. тогда

Пример 8. Найти изображение интегрального синуса

Решение. Используя свойство 6 и результат примера 7, найдем

§3. Теоремы умножения и разложения

Сверткой двух функций (обозначают ) называют интеграл Покажем, что

Действительно, Свойство доказано.

Отметим без доказательства, что свертка двух оригиналов является оригиналом.

Теорема 1 (Борель). Если то (1)

Доказательство.

Рассматривая этот интеграл как двойной по области, изображенной на рисунке 3, поменяем порядок интегрирования. Получим Теорема доказана.

Формула (1) носит название теоремы умножения. Итак, (1')

Поскольку то воспользовавшись свойством дифференцирования оригинала, из получим

(2)

Формулу (2) называют формулой Дюамеля. В силу симметрии свертки формулу (2) можно переписать иначе

(2')

Пример 1. Переходная функция электрической цепи известна (см. пример 6 §2). Найти ток в этой цепи при нулевых начальных условиях и произвольной э.д.с.

Решение. Запишем операторный закон Ома (3)

Подставляя в (3) где изображение переходной функции найдем операторное сопротивление Зная его, найдем из (3) изображение тока

По формуле Дюамеля (2') найдем искомый ток

Теорема 2 (первая теорема разложения). Если функция разлагается в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд Лорана то она является изображением оригинала

(4)

(без доказательства).

Пример 2. Найти оригинал изображения

Решение. Разложим функцию в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.

Согласно теореме 2

функция Бесселя.

Если изображение дробно рациональная функция то эта дробь правильная (см. следствие из теоремы 3 §1). Особыми точками дробно рациональной функции являются только изолированные полюсы, поэтому она удовлетворяет лемме Жордана. Отсюда ясно, что несобственный интеграл в формуле обращения можно вычислить с помощью вычетов, т.е. оригинал определяется формулой

(4)

Здесь нули знаменателя Формулу (4) называют второй теоремой разложения. Она упрощается, если все нули знаменателя простые. В этом случае (5)

Пример 3. По изображению найти оригинал.

Решение. Корни знаменателя простые, поэтому воспользуемся (5). Получим