Структурные средние величины.

Для характеристики структуры совокупности используются структурные средние величины, к которым относятся: мода, медиана, квартили и децили.

Модой называется чаще всего встречающееся значение признака.

В данном примере модой будет 37 размер обуви.

Размер обуви	Число купленных пар	Накопленные частоты
34	2
35	10
36	40
37	48
38	39
39	9
40	2
Итого	150

Медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части. При этом одна часть имеет значение варьирующего признака меньшее, чем средняя варианта, а другая – большее. Для ранжированного ряда с нечетным числом членов ряда медианой является варианта, расположенная в центре ряда. Для ранжированного ряда с четным числом членов ряда медианой будет среднее арифметическое из двух смежных центральных вариант. Медиану можно найти по накопленным частотам. Она там, где накопленная частота равна половине суммы частот ряда или впервые превышает её.

В данном примере медианой будет 37 размер обуви.

Особенности расчета моды и медианы в интервальных рядах.

По данным таблицы рассчитать средний стаж работников фирмы, а также модальное и медианное значение признака.

Стаж работы	Число работников	Накопленные частоты
До 2х лет	4
2 – 4 года	23
4 – 6 лет	20
6 – 8 лет	35
8 – 10 лет	11
Свыше 10 лет	7
Итого	100

В интервальных рядах расчет средней производится в следующей последовательности:

1. Определяется середина интервала как полусумма нижней и верхней границы интервала. Если интервалы открытые, то их условно закрывают, распространяя при этом на первый интервал шаг второго интервала, а на последний – шаг предпоследнего интервала.

2. Середина интервала умножается на соответствующую частоту.

3. Сумма полученных произведений делится на сумму частот.

Квартили представляют собой значение признака, делящее совокупность на четыре равновеликие части. Различают квартиль нижний, отделяющий одну четвертую часть совокупность с наименьшими значениями признака и квартиль верхний, отсекающий одну четвертую часть с наибольшими значениями признака. Средним квартилем является медиана.

Показатели вариации.

Для характеристики колеблимости признаков в статистике используют систему показателей, в том числе абсолютных и относительных. К абсолютным показателям вариации относят: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия, среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям относятся следующие: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, простой коэффициент вариации.

Пример.

Имеется ряд распределения работников фирмы по стажу работы.

Стаж работы (кол-во лет)	Кол-во работников	Расчетные графы.
8	14
9	20
10	30
11	24
12	12
Итого:	100

Размах вариации представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.

R = 12 – 8 = 4.

Величина размаха вариации показывает, в каких пределах колеблется размер признака. Он выражается в тех же единицах, что и сам признак. Этот показатель не всегда отражает колеблемость признака всех единиц совокупности.

В связи с тем, что каждое индивидуальное значение признака отклоняется от средней на определенную величину, мерой вариации может служить среднее из отклонений каждой индивидуальной величины от их средней. Иными словами, мерой вариации может служить усредненное отклонение.

По абсолютным показателям вариации невозможно сравнить колеблемость различных признаков, поскольку они выражаются в абсолютных единицах измерения.

Коэффициент осцилляции определяется как отношение размаха вариации к средней величине признака. Измеряется в процентах. Этот показатель отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Линейный коэффициент вариации. Это отношение среднего линейного отклонения к средней величине признака, выраженное в процентах. Этот показатель называют также относительное линейное отклонение. Он характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

Простой коэффициент вариации. Определяется как отношение среднего квадратического отклонения от средней величины признака. По этому показателю можно сравнивать и оценивать колеблемость величин различных признаков, поскольку он выражается в процентах. Данный показатель является наиболее распространенным показателем изменения колеблемости признака. По его величине судят о колеблемости признака. Если его величина больше 40%, то это свидетельствует о большой колеблемости признака. Если величина этого показателя меньше 12-15%, то это говорит о небольшой колеблемости признака.

Ряды динамики.

Статистические данные, характеризующие изменение явлений во времени, называются динамическими рядами. В рядах динамики выявляют два основных элемента:

1. Показатели времени.

2. Уровни ряда.

Уровни рядов динамики отображают количественную оценку или меру развития во времени изучаемого явления.

Уровни рядов динамики могут быть выражены абсолютными величинами, относительными величинами, средними величинами.

Уровни рядов динамики могут быть представлены, во-первых, на определенную дату, такие ряды называют моментными, и, во-вторых, за определенный период, такие ряды называют интервальными. Примером моментного ряда может быть ряд динамики списочной численности работника в каком-либо году. Особенностью моментных рядов является то, что их уровни содержат элементы повторного счета, и в связи с этим не подлежат суммированию. Уровни моментных рядов не суммируют. С помощью моментных рядов изучают состояние кадров на предприятии, количество и состав оборудования, товарные запасы и тому подобное.

Если уровни рядов характеризуют состояние явления за определенный период, то такие ряды называют интервальными. Интервальные ряды могут быть с равно отстоящими по времени уровнями и с неравно отстоящими уровнями.

Чтобы отобразить развитие изучаемого явления во времени с учетом предшествующих периодов, строят ряды динамики с нарастающими итогами. С помощью рядов динамики может быть измерена динамика изучаемых явлений на основе расчета показателей динамики, может быть выявлена и количественно оценена основная тенденция развития, могут быть произведены экстраполяция и прогнозирование явления.

Система показателей динамики, используемая для исследования динамических рядов включает в себя следующие показатели:

1. Уровни ряда (начальный, конечный и средний).

2. Абсолютные приросты.

3. Темпы (коэффициенты) роста и прироста.

4. Абсолютные значения одного процента прироста.

5. Темпы наращивания.

6. Коэффициент опережения.

Средний уровень используется для обобщающей характеристики явления за определенный период. Расчет среднего уровня зависит от вида динамического ряда. Для интервального ряда средний уровень рассчитывается как среднее арифметическое.

Темпы роста – отношение текущего уровня к предыдущему или начальному, выраженное в процентах.