8. Численное дифференцирование

Численное дифференцирование применяется, если функцию y=f(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически – например, если она задана таблицей. Например, при решении задач электроники очень часто требуется найти траекторию заряженной частицы в электрическом поле заданной системы электронов. В этом случае сначала решается уравнение Пуассона

=-/₀,

Обычно используется сеточный метод потенциалов – в виде таблицы, затем находят поле , которое используют для нахождения траектории частицы в результате решения уравнения движения Но . Т.о., нужно уметь находить производную для таблично заданной функции.

1. Аппроксимация производных

Напомним, что производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции y к приращению аргумента х при стремлении х к нулю:

Если функция задана таблицей, то вычисление производной осуществляется с использованием этой формулы считая х какой-то конечной величиной, т.е.

y‘y/х.

На практике нужно брать соответствующие друг другу приращения.

Это соотношение называется аппроксимацией производной с помощью отношения конечных разностей (y, х – конечны).

П усть шаг – разность между соседними значениями аргумента – постоянный и равен h. Запишем выражение для производной при х=х₁. В зависимости от способа вычисления конечных разностей получаем разные формулы для вычисления производной в одной и той же точке:

-с помощью левых разностей;

- с помощью правых разностей;

Комбинируя эти две формулы:

- с помощью центральных разностей.

Можно найти также выражения для старших производных. Например

Однако все не так просто как могло показаться. При этом остается открытым вопрос о точности полученных значений. Кроме того, как будет видно из дальнейшего, для хорошей аппроксимации производной нужно использовать значения функции во многих узлах, а в формуле y‘y/х это не предусмотрено.

2. Погрешность численного дифференцирования.

Аппроксимируем функцию f(x) некоторой функцией (х), т.е. представим ее в виде

f(x)= (х)+R(x).

В качестве аппроксимирующей функции (х) можно принять интерполяционную функцию. Тогда погрешность аппроксимации R(x) определяется остаточным членом интерполяционной формулы. Дифференцируя f(x) необходимое число раз, можно найти значения производных

f‘(x)= ‘(х)+R‘(x),

f«(x)= «(х)+R«(x),

--- --- ---.

В качестве приближенного значения производной порядка R функции f(x) можно принять соответствующее значение производной функции (х), т.е. f^(k)(x) ^(k)(х). Величина R=f^(k)(x)-^(k)(х), характеризующая отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения, называется погрешностью аппроксимации производной.

При численном дифференцировании функции, заданной в виде таблицы с шагом h, эта погрешность зависит от h, и ее записывают в виде O(h^k). Показатель степени k называется порядком погрешности аппроксимации производной (или просто порядком аппроксимации). При этом предполагается, что значение шага по модулю меньше единицы. Оценку погрешности легко проиллюстрировать с помощью ряда Тейлора

Пусть функция f(x) задана в виде таблицы f(x_i)=y_i(i=0, 1,...,n). Запишем ряд Тейлора при x=x₁, x=-h с точностью до членов порядка h:

y₀=y₁-y‘₁h+O(h²).

Отсюда значение производной в точке х=х₁:

Это выражение совпадает с формулой левых разностей, которая, как видно, является аппроксимацией первого порядка (k=1). Аналогично, записывая ряд Тейлора при x=h, можно получить аппроксимацию с помощью правых разностей. Она также имеет первый порядок.

Используем теперь ряд Тейлора для оценки погрешностей аппроксимации с помощью центральных разностей, а также второй производной. Полагая x=h и x=-h, получим

Найдем

откуда

Видно, что аппроксимация производной с помощью центральных разностей имеет второй порядок.

Сложим y₂ и y₀:

Отсюда находим

Таким образом погрешность аппроксимации производной второго порядка имеет второй порядок. Аналогично можно получить аппроксимацию производных более высших порядков и оценку их погрешностей.

Мы рассмотрим лишь один из источников погрешности численного дифференцирования – погрешность аппроксимации (ее также называют погрешностью усечения). Он определяется величиной остатка О. Анализ остатка О нетривиален и сведения по этому вопросу можно найти в более полных курсах по численным методами теории разностных схем. Отметим лишь, что погрешность аппроксимации при уменьшении шага h, как правило, уменьшается.

Погрешности, возникающие при численном дифференцировании, кроме рассмотренной погрешности аппроксимации, определяются также неточными значениями функции y_i в узлах и погрешностями округлений при проведении расчетов на ЭВМ. В отличие от погрешности аппроксимации погрешность округления возрастает с уменьшением шага h. Поэтому суммарная погрешность численного дифференцирования может убывать при уменьшении шага лишь до некоторого предельного значения, после чего дальнейшее уменьшение шага не повысит точности результата.

Оптимальная точность может быть достигнута за счет регуляризации процедуры численного дифференцирования. Простейшим способом регуляции является такой выбор шага h, при котором справедливо неравенство

f(x+h)-f(x)> , где >0 – некоторое малое число. При вычислении производной это исключает вычитание близких по величине чисел, которое обычно приводит к увеличению погрешности. Это тем более опасно при последующем делении приращения функции на малое число h. Другой способ регуляции – сглаживание табличных значений функции подбором некоторой гладкой аппроксимирующей функции, например, полинома.