Числовой ряд. Сумма числового ряда.
Числовым
рядом или просто рядом называется
выражение вида
,
где
-
действительные или комплексные числа,
называемые членами ряда,
- общим членом ряда.
Ряд считается заданным ,если известен общий член , выражений как функция его номера n.
Сумма
первых n
членов ряда называется n-й
частичной суммой ряда и обозначается
через
,
т.е.
Рассмотрим
частичные суммы
Если
существует конечный предел
последовательности частичных сумм ряда
, то этот предел называют суммой ряда и
говорят, что ряд сходится. Записывают:
.
Если
не существует или
,
то ряд называют расходящимся и. Такой
ряд суммы не имеет.
Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Теорема:
если ряд сходится
,
то его общий член
стремиться к нулю, т.е.
Пусть ряд сходится
и
.
Тогда и
(при
и
).
Учитывая , что
при
получаем:
Следствие из теоремы (достаточное условие расходимости ряда).
Если
или этот предел не существует , то ряд
расходится.
Действительно , если бы ряд сходился , то (по теореме) . Но это противоречит условию. Значит, ряд расходится.
Гармонический
ряд
.Очевидно,
что
,
однако ряд расходится.
при
любом
имеет место неравенство
.
Логарифмируя это неравенство по основанию
e,
получим:
т.е.
,
Подставляя в полученное неравенство поочередно n=1,2,…,n-1,n, получим:
Сложив
почленно эти неравенства , получим
. Поскольку
, получаем
,
т.е.
гармонический ряд расходится.
Критерий Коши сходимости числового ряда.
Для
того чтобы числовой ряд
был сходящимся, необходимо и достаточно,
чтобы для любого
существовало
такое, что для всех
и
выполнялось равенство
.
Признаки сравнения.
Пусть
даны два знакоположительных ряда
и
.Если
для всех n
выполняется неравенство
, то и сходимости ряда
следует сходимость ряда
, из расходимости ряда
следует расходимость ряда
.
Теорема
(предельный признак сравнения). Пусть
даны два знакоположительных ряда
и
.
Если существует конечный отличный от
нуля предел
, то ряды
и
сходятся
или расходятся одновременно.
Признаки Даламбера, Коши , интегральный признак Коши.
Признак
Даламбера
:Пусть дан ряд
с положительными членами и существует
предел
. Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Признак
Коши:
Пусть дан ряд
с положительными членами и существует
конечный или бесконечный предел
.Тогда ряд сходится при
и расходится при
.
Интегральный
признак Коши: Если
члены знакоположительного ряда
могут
быть представлены как числовые значения
некоторой непрерывной монотонно
убывающей на промежутке
функции
так, что
,
то:
1)если
сходится, то сходится и ряд
2)если расходится, то расходится также и ряд
Сходимость ряда Дирихле
Ряд
где
- действительное число , называется
обобщенным гармоническим рядом. Для
исследования ряда
на сходимость применим интегральный
признак Коши (признаки Даламбера и Коши
ответа не дают).
Рассмотрим
функцию
. Эта функция непрерывна, монотонно
убывает на промежутке
и
.
При
имеем:
Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Числовой ряд , содержащий бесконечное множество положительных и бесконечное множество отрицательных членов называется знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий достаточный признак сходимости.
Теорема
Пусть дан
знакопеременный ряд
Если сходится ряд
составленный из модулей членов данного
ряда, то сходится и сам знакопеременный
ряд
.
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если ряд, составленный из модулей его членов сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд составленный из модулей его членов, расходится.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Знакочередующимся
рядом называется ряд вида
,
где
для всех
(т.е. ряд, положительные и отрицательные
члены которого следуют друг за другом
поочередно).
Признак Лейбница Знакочередующийся ряд сходится, если:
Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает , т.е.
;Общий член ряда стремится к нулю: .
При
этом S
ряда удовлетворяет неравенствам
.
Оценка суммы остатка знакочередующегося ряда.
Отброшенный
ряд (остаток) представляет собой также
знакочередующийся ряд
,
сумма которого по модулю меньше первого
члена этого ряда, т.е.
.
Поэтому ошибка меньше модуля первого
из отброшенных членов.
Функциональные ряды. Область сходимости.
Ряд,
членами которого являются функции от
, называется функциональным:
Придавая
определенное значение
,
мы получим числовой ряд
,
который может быть как сходящимся, так
и расходящимся.
Если подученный функциональный ряд сходится, то точка называется точкой сходимости ряда; если же ряд расходится – точкой расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости.
В
области сходимости функционального
ряда его сумма является некоторой
функцией от
.
Определяется она в области сходимости
равенством
,
где
- частичная сумма ряда.
Понятие равномерной сходимости функционального ряда.
Сходящийся
функциональный ряд называется равномерно
сходящимся в некоторой области D
, если для сколь угодно малого числа
Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.
Достаточный признак равномерной сходимости.
Если
функции
по абсолютной величине не превосходят
чисел
и ряд из
- сходится , то функциональный ряд
сходится равномерно.
мажоранта
Свойства равномерно сходящихся рядов.
Сумма
равномерно сходящегося на множестве
ряда
,
где
- непрерывный функции, также есть
непрерывная функция.
(О последовательном интегрировании функциональных рядов)
Если
ряд
состоящий из непрерывных функций
равномерно сходящихся в области
и имеют сумму
,
то сходится и ряд из интегралов
для любых
(Теорема о почленном дифференцировании)
в некоторой области
D
имеют непрерывные производные
-
равномерно сходящийся , тогда исходный
ряд
также равномерно сходящийся и его сумма
является непрерывной функции и равна
сумме производных исходной функции.
Степенные ряды. Радиус и интервал сходимости функционального ряда.
Среди
функциональных рядов в математике и ее
приложениях особую роль играет ряд,
членами которого являются степенные
функции аргумента
,т.е.
так называемый степенной ряд:
Действительные
(иди комплексные) числа
называются коэффициентами ряда ,
- действительная переменная.
Интервал
и называют интервалом сходимости
степенного ряда. Положив
,
интервал сходимости можно записать в
виде
.
Число
называют радиусом сходимости степенного
ряда, т.е.
–
это такое число, что при всех
,
для которых
,
ряд абсолютно сходится, а при
ряд расходится.
Нахождение радиуса сходимости степенного ряда.
Для
нахождения радиуса сходимости степенного
ряда можно поступить следующим образом.
Составим ряд из модулей членов данного
степенного ряда
и применим к нему признак Даламбера.
Допустим, что существует предел
,
.
По
признаку Даламбера ряд сходится, если
,т.е. ряд сходится при тех значениях
, для которых
ряд, составленный из модулей членов
ряда, расходится при тех значениях
,
для которых
. Таким образом, для ряда радиус абсолютной
сходимости
Равномерная сходимость степенных рядов.
Об области сходимости степенного ряда можно судить исходя из теоремы Абеля:
Пусть
степенной ряд
сходится в некоторой точке
,
тогда он сходится абсолютно в любой
окрестности точки
и равномерно в любой области
.
Если
же ряд расходится в некоторой точке
,
то он расходится в любой точке
.
(на основании признака Вейерштрасса ряд сходится равномерно).
Разложения элементарных функций в степенной ряд.
Если
функция
имеет производные (т.е. бесконечно
дифференцируема) в окрестности точки
и остаточный член
стремится к 0 при
(
),
то из формулы Тейлора получается
разложения функции
по степеням
,
называемое рядом Тейлора:
Если
в ряде Тейлора положить
,
то получим разложение функции по степеням
в так называемый ряд Маклорена:
Для разложения функции в ряд Маклорена нужно:
найти производные
;вычислить значения производных в точке ;
написать ряд для заданной функции и найти его интервал сходимости;
найти интервал , в котором остаточный член ряда Маклорена
при
.
Если такой интервал существует, то в
нем функция
и сумма
ряда Маклорена совпадают.
В интервале сходимости степенного ряда остаточный член стремиться к нулю при .
Разложения в ряд Маклорена некоторых элементарных функций:
,
;
,
;
,
;
,
,
;
,
;
,
;
,
;
,
;, .
Понятие о ряде Фурье. Сумма ряда Фурье.
С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (практически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, членами которого являются простые гармоники.
Тригонометрическая
система ряда функций
является ортогональной на отрезке
(как,
впрочем, и на всяком отрезке длинны 2
),
т.е. интеграл по этому отрезку от
произведения любых двух различных
функций этой системы равен 0.
Если
,
то существуют и числа
,
называемые коэффициентами Фурье функции
.
Ряд
называется
рядом Фурье функции
.
Члены ряда можно записать в виде гармоник
с
амплитудой
,
частотой
и фазой
.
Если
ряд Фурье сходится, то сумму обозначим
Теорема Дирихле. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.
Теорема Дирихле Пусть 2 -переодическая функция на отрезке удовлетворяет двум условиям:
кусочно-непрерывна, т.е. непрерывна или имеет конечное число точек разрыва 1 рода;
кусочно-монотонна, т.е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция монотонна.
Тогда соответствующей функции ряд Фурье сходится на этом отрезке и при этом:
В точках непрерывности функции сумма ряда совпадает с самой функцией:
;В каждой точке разрыва функции сумма ряда равна
,
т.е. равна среднему арифметическому
пределов функции
справа и слева;В точках
и
(на концах отрезка) сумма ряда равна
.
Разложение в ряд Фурье: Если разлагаемая на отрезке в ряд Фурье функция является четой или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов Фурье и на виде самого ряда (он становится так называемым неполным).
Если
функция
четная , то ее ряд Фурье имеет вид
,
где
,
,
Если
функция
нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид
где
,
Разложение в ряд Фурье функций с произвольным периодом
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом отличным от 2 .
Пусть
функция
,
определенная на отрезке
,
имеет период 2l
(
,
где l
– произвольное положительное число)
удовлетворяет на этом отрезке условиям
Дирихле.
Сделав
подстановку
,
данную функцию
преобразуем в функцию
,
которая определена на отрезке
и имеет период
.
Разложение
функции
в ряд Фурье на отрезке
имеет вид
,
где
(
),
(
)
Возвращаясь
к переменной
и заметив, что
,
,
получим
где
(
),
(
).