3.Формула обратной матрицы.

Пример 2.10. Для матрицы   найти обратную.

Решение. Находим сначала детерминант матрицы А      значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле:   , где А_{i j} (i,j=1,2,3) - алгебраические дополнения элементов а_{i j}исходной матрицы.                    

                    

                   

                  

 откуда    .

4. Определителем n-го порядка

.                                                  (4.3)

,                                                    (4.4)

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ или det A=   (детерминант, или определитель, матрицы А).

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки

d = a_{i 1} A_{i 1} + a_{i 2} A_{i 2} +... + a_{i n} A_{i n}   (i =  )

или j- го столбца

d = a_{1 j} A_{1 j} + a_{2 j} A_{2 j} +... + a_{n j} A_{n j}    (j =  ).

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

5. Свойства определителей.

1. Определитель не меняется при транспонировании.

2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число k, то сам определитель умножится на k.

6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых a_{i j} = b_j + c_j (j= ), то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, - такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

6. Системы линейных уравнений. Элементарные преобразования систем линейных уравнений.

относительна неизвестных x₁, x₂, ..., x_n-1, x_n называется системой линейных алгебраических уравнений.

Числа a_ij — коэффициенты системы, b_i— правые части системы i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n.

Совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая всем уравнениям системы, называется решением системы.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Система, у которой нет решений, называется несовместной.

Каждое решение совместной системы называется частным решением. Совокупность всех решений совместной системы называется общим решением.

Если среди правых частей b_i системы есть хоть одна, отличная от нуля, то система называется неоднородной системой линейных уравнений.

Если все правые части системы равны нулю, то система называется однородной.

Система линейных уравнений может быть записана в матричной форме A·x = b:

Здесь A — матрица системы, b — правая часть системы , x— искомое решение системы.

Иногда удобно записывать систему линейных уравнений в другой матричной форме:

A⁽¹⁾x₁ + A⁽²⁾x₂ + ... + A⁽ⁿ⁾x_n = b. Здесь  A⁽¹⁾, A⁽²⁾, ... , A⁽ⁿ⁾ — столбцы матрицы системы.

Матрица Ap называется расширенной матрицей системы.

Если исследуется неоднородная система A·x = b, b ≠ 0, то система A·x =0 называется приведенной однородной системой для системы A·x = b.

Перестановка уравнений системы, прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умножение уравнения на число, отличное от нуля — такие преобразования системы называются элементарными преобразованиями системы.

Элементарные преобразования приводят к эквивалентным системам.

7.Метод Гаусса.

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х₁ и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система.

или х₃ = -2 + 10/7х₄ + 3/7х₅

х₂ = -7/4х₃ + 1/2х₄ + 7/4х₅ + 5/2 = -7/4(-2 + 10/7х₄ + 3/7х₅) + 1/2х₄ + 7/4х₅ + 5/2 = 7/2 – 5/2х₄ – 3/4х₅ + 1/2х₄ +7/4х₅ + 5/2 = 6 – 2х₄ + х₅

х₁ = 7 – 2х₂ – 4х₃ + х₄ + 3х₅ = 7-2(6 – 2х₄ + х₅) – 4(-2 + 10/7х₄ + 3/7х₅) + х₄ +3х₅ = 7 – 12 + 4х₄ – 2х₅ + 8 – 40/7х₄ – 12/7х₅ + х₄ + 3х₅ = 3 – 5/7х₄ – 5/7х₅

Придавая х₄ и х₅ произвольные значения, например, х₄ =х₅ = 0, получаем решение системы, х₁ =3, х₂ =6, х₃ =-2, х₄ =0, х₅ =0.

• Итак, если при прохождении первого этапа метода Гаусса мы придем к системе, содержащей уравнение, в котором все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то это указывает на то, что уравнение не удовлетворяется никакими значениями неизвестных, то есть полученная система несовместна. Значит, несовместной является и исходная система.

• Если полученная в прямом ходе метода Гаусса система совместна, значит она имеет  либо треугольную либо ступенчатую   матрицу системы.

В случае треугольной системы из последнего уравнения находим х_n = b_n, затем х_n-1 и так далее, то есть система является совместной и определенной. Если же мы получим ступенчатую систему, то часть неизвестных будут свободными и мы будем придавать им произвольные значения. Такая система является совместной и неопределенной. Итак, ответ на вопрос о совместности системы может быть дан лишь в конце вычислений, либо этот ответ может дать теорема Кронекера - Капелли. Для того, чтобы система линейных уравнений были совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы равнялся рангу ее расширенной матрицы, то есть

Замечание. Если ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы равны числунеизвестных,r(А)=r(В)=n, то исходная система имеет единственное решение. Если же r(A)=r(B)<n , то система имеет бесчисленное множество решений.

8.Метод обратной матрицы.

Еще один, пользующийся большой популярностью метод. Этот способ или, как его еще называеют, метод обратной матрицы называется так потому, что все решение сводится к простому матричному уравнению, для решения которого необходимо найти обратную матрицу. Для того, что бы расставить все точки над и, рассмотрим метод под микроскопом.

Алгоритм решения достаточно просто. Как и в методах Гаусса и Крамера первоначально надо проверить, имеет ли система уравнений решение по теореме Кронекера-Копелли. Затем для решения матричным методом необходимо ввести в рассмотрение матрицы-столбцы для неизвестных X и свободных членов B. Тогда систему линейных уравнений можно записать в матричной форме AX=B. Умножив это матричное уравнение на A^-1, получим A^-1AX= A^-1B, откуда EX=X=A^-1B. Следовательно, матрица-решение X легко находится как произведение A^-1 и B.

Для большей ясности решим небольшой пример методом обратной матрицы:

21x₁-45x₂-3.5x₃=10

12x₁-16x₂+21x₃=-16

14x₁+13x₂-8x₃=10

Определим совместность системы уравнений. По теореме Кронекера-Копелли для того, что бы система линейных алгебраических уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, что бы ранг основной матрицы

 

A=

21	-45	3.5
12	-16	21
14	13	-8

 

и ранг расширенной матрицы

B=

21	-45	3.5	10
12	-16	21	-19
14	13	-8	10

 

были равны. Так как rang|A|=3 равен rang|B|=3 и равен количеству неизвестных n=3, то система имеет единственное решение.

Для решения методом обратной матрицы необходимо ввести матричные обозначения

 

A=

21	-45	3.5
12	-16	21
14	13	-8

X=

X₁

X₂

X₃

C=

10

-19

10

, то X=A^-1C

 

Найдем обратную матрицу A^-1.

 

A^-1=

0.008	0.016	0.046
-0.02	0.011	0.021
-0.02	0.047	-0.011

 

Для нахождения матрицы X умножим обратную матрицу А^-1 на матрицу С

0.008	0.016	0.046
-0.02	0.011	0.021
-0.02	0.047	-0.011

10

-19

10

=

0.227

-0.209

-1.194

 

Получили решение системы уравнений X₁=0.227  X₂=-0.209  X₃=-1.194

9.Правило Крамера.

Рассмотрим систему линейных уравнений

                                                                                  (7)

 

Система трех уравнений может быть решена по правилу Крамера, рассмотренному выше для системы двух уравнений.

Составим определитель из коэффициентов при неизвестных

.

Назовем его определителем системы. Если D≠0, то система совместна. Далее составим три вспомогательных определителя:

, , .

Решение системы (7) находим по формулам:

, , ,                               (8)

которые называют формулами Крамера.

Пример 6. Решить систему уравнений 

Решение. Вычислим определитель системы.

. Система совместна, так как D≠0.

Вычислим теперь вспомогательные определители:

,  , .

Тогда  ,  ,  .

10.ФСР ОСЛУ

Множество решений однородной линейной системы относительно n неизвестных является линейным подпространством пространства Rn.Размерность этого подпространства равна n − r, где r − ранг матрицы системы A.

Любой базис пространства решений однородной системы линейных уравнений называется фундаментальной системой решений однородной системы.

Иначе говоря, любая упорядоченная совокупность n − r линейно независимых решений однородной линейной системы образуетфундаментальную систему решений однородной системы.

Пример

Решим систему

Перепишем её в матричном виде:

Путём элементарных преобразований над строками приведём её основную матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом ранг системы (ранг её основной матрицы) равен двум. Это значит, что существует   линейно независимых решения системы.

Перепишем полученную систему в виде уравнений:

Возьмём   и   в качестве главных переменных. Тогда:

Подставим по очереди единицы в качестве одной из свободных переменных:   и  .

Тогда общее решение рассматриваемой системы может быть записано так:

,

а вектора   составляют фундаментальную систему решений.

11.Связь решения однородной и неоднородной СЛУ.

Общее решение неоднородной системы линейных уравнений равно сумме общего решения приведенной однородной системы и любого частного решения неоднородной системы.

Поскольку общее решение линейной системы, записанной в каноническом виде, определяется формулами:

то общее решение неоднородной системы можно записать в векторной форме в виде:

Здесь С₁, С₂, ..., С_n−r−1, С_n−r — произвольные константы, r — ранг матрицы системы.

12. Определение векторного пространства. Линейной зависимости и независимости системы векторов.

Линейное, или векторное пространство   над полем P — это непустое множество L, на котором введены операции

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества   ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый   и

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу   и любому элементу   ставится в соответствие единственный элемент из  , обозначаемый  .

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. , для любых   (коммутативность сложения);

2. , для любых   (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент  , что   для любого   (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого   существует такой элемент  , что   (существование противоположного элемента относительно сложения).

5.  (ассоциативность умножения на скаляр);

6.  (унитарность: умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7.  (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P — скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства L называется линейно независимой системой, если равенство С₁·e₁+С₂·e₂+ ...+С_k· e_k = 0 возможно только когда все коэффициенты С₁, С₂, ..., С_k равны нулю.

Здесь 0 — нулевой вектор линейного пространства L, С₁, С₂, ..., С_k — числовые коэффициенты.

  Если система векторов e₁,e₂, ..., e_k линейного пространства L не является линейно независимой системой, то она называетсялинейно зависимой системой векторов.

13.   Свойства линейной зависимости векторов.

 Определение. Векторы   называются линейно зависимыми, если существует такая линейная комбинация , при не равных нулю одновременно _i , т.е. .

Если же только при _i = 0 выполняется , то векторы называются линейно независимыми.

            Свойство 1. Если среди векторов  есть нулевой вектор, то эти векторы линейно зависимы.

            Свойство 2. Если к системе линейно зависимых векторов добавить один или несколько векторов, то полученная система тоже будет линейно зависима.

            Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов раскладывается в линейную комбинацию остальных векторов.

            Свойство 4. Любые 2 коллинеарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 2 линейно зависимые векторы коллинеарны.

            Свойство 5. Любые 3 компланарных вектора линейно зависимы и, наоборот, любые 3 линейно зависимые векторы компланарны.

            Свойство 6. Любые 4 вектора линейно зависимы.

14.Матрица перехода от базиса к базису.

Ма́трицей перехо́да от базиса   к базису   является матрица, столбцы которой — координаты разложения векторов   в базисе  .

Обозначается 

Представление

Так как

.

.

.

.

Матрица перехода это

Использование

При умножении столбца, составленного из коэффициентов разложения вектора по базису  , на матрицу, обратную к матрице перехода, мы получаем тот же вектор, выраженный через базис  .

Из-за того, что уменьшает объём работы при переводе векторов аффинных пространств и в пространстве столбцов Rⁿв другие базисы, используется в трёхмерном моделировании.

Пример

Для того, чтобы повернуть вектор на угол θ против часовой стрелки, можно умножить матрицу поворота на него:

15.Координаты вектора.

Координа́ты ве́ктора ― коэффициенты единственно возможной линейной комбинации базисных векторов в выбранной системе координат, равной данному вектору.

где   — координаты вектора.

Связь координат вектора, вычисленных в разных базисах

Пусть ,   - два базиса пространства  ,  , тогда имеем

                                    .

Нас интересует связь между координатами     и   .

Разложим векторы базиса   по базису  . Получим

                                   

 Тогда, если 

                     

то

                                      

Или в матричной форме   .  

Заменяя в (*) столбец   его выражением через столбец   и приравнивая (*) и (**) получаем

                               

Из этого равенства следует, что

                                

В дальнейшем матрицу   ,  связывающую базисы    обозначаем   . Таким образом имеем     и    . Отметим здесь, что   - матрица тождественного преобразования

                                                        ,

в случае, когда в первом экземпляре пространства   выбран базис  , а во втором экземпляре того же пространства   выбран базис  .

16.Подпространства.

Линейное подпространство или векторное подпространство ― непустое подмножество K линейного пространства L такое, что K само является линейным пространством по отношению к определенным в L действиям сложения и умножения на скаляр. Множество всех подпространств обычно обозначают как Lat(L). Чтобы подмножество было подпространством, необходимо и достаточно, чтобы

• ;

• для всякого вектора  , вектор   также принадлежал K, при любом  ;

• для всяких векторов  , вектор   также принадлежал K.

Последние два утверждения эквивалентны следующему:

• для всяких векторов  , вектор   также принадлежал K для любых  .

В частности, пространство, состоящее из одного элемента {θ}, является подпространством любого пространства; любое пространство является само себе подпространством. Подпространства, не совпадающие с этими двумя, называют собственными или нетривиальными.

Пусть   и   — подпространства векторного пространства   над полем  .

Предложение 1. Пересечение   подпространств   и   является векторным пространством.

Замечание 1. Объединение   пространств   и   не обязано быть векторным пространством, как показано в следующем примере.

Пример 1. Пусть  , то есть множество векторов вида  , где  . Базисом этого пространства служат вектора   и  . Положим   и   — линейные оболочки векторов   и  , соответственно. Сумма векторов   не содержится в  .

Определение 1. Суммой¹⁾ подпространств   и   называется наименьшее подпространство в  , содержащее   и  , то есть

.

Вообще говоря, можно определить сумму любого конечного числа подпространств:

Определение 1'. Сумма подпространств   в   — это наименьшее подпространство, содержащее все  , то есть

.

Предложение 2. Пусть   и   — подпространства конечномерного векторного пространства  . Тогда

.

17.Формула Грассмана.

Формула Грассмана — математическая формула, описывающая размерность подпространства конечномерного пространства. Выведена немецким ученым Г. Г. Грассманом.

Формулировка: Если линейное пространство V конечномерно, то конечномерными будут и все линейные подпространства в V, причем, по свойству монотонности размерности, размерности подпространств не превышают размерность всего пространства.

Вычисление размерности может быть сделано по формуле:

18.Линейное отображение.

Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности

f(x + y) = f(x) + f(y),

f(αx) = αf(x).

для всех   и  .

Ядром линейного отображения   называется прообраз нулевого элемента пространства U:

ker f является подпространством в V. Оно всегда содержит нулевой элемент пространства V. Согласно основной теореме о гомоморфизме, образ f изоморфен фактору пространства V по ядру f:

Соответственно, размерность образа пространства равна разности размерностей пространства и ядра отображения, если размерность V конечна:

а прообраз любого вектора определён с точностью до прибавления вектора из ядра:

Образом подмножества^[1]   относительно линейного отображения A называется множество 

Образ и ядро линейного оператора

Рассмотрим линейный оператор A, действующий в конечномерном линейном пространстве X. Доказано, что образ Im(A) линейного оператора   линейное пространство. Размерность образа линейного оператора называется рангом оператора, обозначается  Rg(A) = r = dim( Im(A) ).

Ядром линейного оператора называется множество элементов из X, образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A) :  Ker(A) = {x e X : A(X) =0 } . Ядро линейного оператора   линейное пространство; размерность ядра линейного оператора называется дефектом оператора, обозначается Def(A):   d = Def(A) = dim ( Ker(A) ) .

Для линейного оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве X, справедливы следующие утверждения:

сумма ранга и дефекта оператора равно размерности пространства, в котором действует оператор:

Def(A) + Rg(A) = n; 

ранг оператора равен рангу его матрицы;

ядро оператора совпадает с множеством  решений линейной однородной системы с матрицей A, размерность пространства решений этой системы равна дефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядре оператора;

столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образе оператора.

Сформулированные утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора, заданного матрицей, используя язык матричных преобразований и общей теории линейных систем.

Пример 2 ::     Образ и ядро линейного оператора. 

20. Собственные значения и собственные векторы линейного оператора

Пусть A - линейный оператор, действующий в линейном пространстве.

Число  называется собственным значением, а ненулевой вектор X - соответствующим собственным вектором линейного оператора A, если они связаны между собой соотношением A x =  x .

Пусть A матрица оператора в некотором базисе.

Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением (A - E ) x = 0 , где E -  единичная матрица, а 0 - нулевой элемент пространства X. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы (A - E ) x = 0 , которое существует тогда и только тогда, когда det (A - E ) = 0 . Следовательно,  собственные  значения  линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения det (A - E ) = 0 , а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.

Уравнение det (A - E ) = 0  называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен det (A - E )  характеристическим многочленом оператора.

Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:

характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом  n-й степени относительно ;

линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более n различных собственных значений;собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;

если линейный оператор, действующий в  n-мерном линейном пространстве X, имеет n различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве X; этот базис называютсобственным базисом оператора;

матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.

Пример 3 ::     Собственные значения и собственные векторы оператора. 

Примеры

Пример 1 ::     Матрица оператора в новом базисе.

Оператор A, действующий в линейном пространстве X₄ , задан своей матрицей    . Найдем координаты образа  вектора     . В линейном  пространстве X₄   введен новый базис    . Найдем координаты вектора X, координаты образа Y = A X  и матрицу оператора в новом базисе. 

Пример 2 ::     Образ и ядро линейного оператора.

Опишем структуры образа и ядра линейного оператора (то есть, определим их размерности и построим базис), действующего в линейном пространстве X₄ , заданного матрицей   . Проверим, принадлежат ли векторы    ядру оператора, а векторы   - его образу. 

Пример 3 ::     Собственные значения и собственные векторы оператора.

Найдем собственные значения и собственные векторы оператора, заданного матрицей  . Запишем матрицу оператора в базисе из собственных векторов и матрицу перехода к собственному базису.

21.Диагональный вид.

2.10. Приведение матрицы к диагональному виду

Нормальную (в частности симметричную) матрицу A можно привести к диагональному виду преобразованием подобия — 

A = TΛT⁻¹

Здесь Λ = diag(λ₁,..., λ_N) — это диагональная матрица, элементами которой являются собственные значения матрицы A, а T — это матрица, составленная из соответствующих собственных векторов матрицы A, т.е. T = (v₁,...,v_N). 

Например,

Рис. 23 Приведение к диагональному виду