Добавил:
Studfiles
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Учебники, методички / Введение в аналитическую геометрию / s2lla1
.tex\vspace{0.5in}
\noindent ‹…Љ–€џ 2.1. { ‹ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ Ё Ёе га ўҐЁп. Џап¬ п
Ї«®бЄ®бвЁ. ђ §«ЁзлҐ д®а¬л га ўҐЁ© Їаאַ© Ї«®бЄ®бвЁ. “Ј®«
¬Ґ¦¤г Їап¬л¬Ё. ђ ббв®пЁҐ ®в в®зЄЁ ¤® Їаאַ©.}
Ћ¤®© Ё§ § ¤ з, аҐи Ґ¬ле ў Єгаᥠ«ЈҐЎал Ё ЈҐ®¬ҐваЁЁ, пў«пҐвбп
§ ¤ з Ёбб«Ґ¤®ў Ёп д®а¬л, а бЇ®«®¦ҐЁп Ё бў®©бвў «ЁЁ©
Ї«®бЄ®бвЁ Ё ў Їа®бва б⢥, Ї®ўҐае®б⥩ ў Їа®бва б⢥ Ё в.¤.
€§г票Ґ нвЁе ў®Їа®б®ў 祬 б а бᬮваҐЁп Ї®пвЁп «ЁЁЁ
Ї«®бЄ®бвЁ. Ѓг¤Ґ¬ бзЁв вм, зв® ў Їа®бва б⢥ $\RR^2$ ўлЎа
бв ¤ авл© Ў §Ёб Ё $(x,y)$ ®§ з Ґв Є®®а¤Ё вго § ЇЁбм ўҐЄв®а®ў
ў н⮬ Їа®бва б⢥.
Џгбвм $F:U\to\RR$ -- ҐЄ®в®а п ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
§ ¤ п Ї®¤¬®¦Ґб⢥ $U\subset\RR^2$ в®зҐЄ $(x,y)\in U$.
‘®®в®иҐЁҐ $F(x,y)=0$ §лў Ґвбп га ўҐЁҐ¬ $U$. Ѓг¤Ґ¬
ЇаҐ¤Ї®« Ј вм, з⮠⥠Ї ал $(x,y)\in U$, Є®в®алҐ Ґ¬г 㤮ў«Ґвў®апов,
Ґ § Ї®«пов жҐ«л© "Єгб®Є Ї«®бЄ®бвЁ" (Ґ гв®зпп, зв® нв® ®§ з Ґв
Ў®«ҐҐ Ї®¤а®Ў®, ®в¬ҐвЁ¬, з⮠⮦¤Ґбвў вЁЇ
$F(x,y)=(x+y)^2-x^2-2xy-y^2\equiv 0$ ®Ўлз® бзЁв ов Ґ
га ўҐЁп¬Ё, Ё¬Ґ® ⮦¤Ґбвў ¬Ё). ‹ЁЁҐ©, § ¤ ў Ґ¬®© дгЄжЁҐ©
$F$ (Ё«Ё га ўҐЁҐ¬ $F=0$), §лў ов б®ў®ЄгЇ®бвм $$\{(x,y)\in U\
|\ F(x,y)=0\}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬ «ЁЁп Ї«®бЄ®бвЁ -- нв® ЇаҐ¦¤Ґ
ўбҐЈ® ҐЄ®в®ал© Ў®а в®зҐЄ Ї«®бЄ®бвЁ.
\noindent {\it ЏаЁ¬Ґал га ўҐЁ© Ё «ЁЁ©, § ¤ ў Ґ¬ле нвЁ¬Ё
га ўҐЁп¬Ё.}
1. $F(x,y)=x-y-1$, $U=\RR^2$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
$x-y-1=0$ -- га ўҐЁҐ «ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ. ќв «ЁЁп ЇаҐ¤бв ў«пҐв
Ё§ ᥡп б¤ўЁЈ ЎЁбᥪваЁбл ЇҐаў®Ј® Ё ваҐв쥣® Є®®а¤Ё вле гЈ«®ў
®¤г Ґ¤ЁЁжг ўЁ§.
2. $F(x,y)=x^2-y^2$, $U=\RR^2$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
$x^2-y^2=0$ -- га ўҐЁҐ «ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ; ®® ¬®¦Ґв Ўлвм
§ ЇЁб ® ў ўЁ¤Ґ $(x-y)(x+y)=0$. ќв «ЁЁп ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ᥡп,
в ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ®ЎкҐ¤ЁҐЁҐ ¤ўге ЎЁбᥪваЁб: ЇҐаў®Ј®-ваҐв쥣® Ё
ўв®а®Ј®-зҐвўҐав®Ј® Є®®а¤Ё вле гЈ«®ў.
3. $F(x,y)=x^2+y^2$, $U=\RR^2$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
$x^2+y^2=0$ -- га ўҐЁҐ «ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ; Ґ¤Ёб⢥ п
㤮ў«Ґвў®апой п Ґ¬г в®зЄ -- нв® з «® Є®®а¤Ё в $(x,y)=(0,0)$.
ќв «ЁЁп ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ бҐЎп ®¤г в®зЄг. „ ®Ґ га ўҐЁҐ
®ЇаҐ¤Ґ«пҐв, Є Є Ј®ў®апв, ўл஦¤Ґго «ЁЁо.
4. $F(x,y)=x^2+y^2+1$, $U=\RR^2$, -- ¤Ґ©б⢨⥫쮧 з п дгЄжЁп,
$x^2+y^2+1=0$ -- га ўҐЁҐ Ї«®бЄ®бвЁ. ќв®¬г га ўҐЁо Ґ
㤮ў«Ґвў®апҐв Ё ®¤ в®зЄ , ®® Ґ ®ЇаҐ¤Ґ«пҐв «ЁЁЁ.
5. ‚ ¦л¬ ЇаЁ¬Ґа®¬ «ЁЁЁ пў«пҐвбп Ја дЁЄ дгЄжЁЁ $f:[a,b]\to\RR$.
„«п нв®Ј® б«гз п $F(x,y)=y-f(x)$, $U=[a,b]\times\RR$ -- Ї®«®б ,
Ґ®Ја ЁзҐ® Їа®¤®«¦ ой пбп ¤ Ё Ї®¤ ®в१Є®¬ $[a,b]$ ®бЁ $Ox$.
ЏаЁ н⮬ «ЁЁп, ®ЇаҐ¤Ґ«пҐ¬ п га ўҐЁҐ¬ $F(x,y)=0$, б®ўЇ ¤ Ґв б
Ја дЁЄ®¬ дгЄжЁЁ $y=f(x)$: $$\{(x,y)\in U\ |\ F(x,y)=0\}=
\{(x,y)\in U\ |\ y=f(x)\}= \{(x,f(x))\ |\ x\in [a,b]\}.$$
Џгбвм $\varphi,\psi:\langle a,b\rangle\to\RR$ -- ¤ўҐ
¤Ґ©б⢨⥫쮧 злҐ дгЄжЁЁ, § ¤ лҐ Їа®¬Ґ¦гвЄҐ $\langle
a,b\rangle\subset\RR$. ѓ®ў®апв, зв® бЁб⥬ \begin{equation*}
\begin{cases}
x=\varphi(t),\\
y=\psi(t),
\end{cases}
\qquad\qquad t\in \langle a, b\rangle,\end{equation*} § ¤ Ґв
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ «ЁЁЁ Ї«®бЄ®бвЁ. ќв® § ¤ ЁҐ
Їа®Ёб室Ёв б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬: «ЁЁҐ© бзЁв Ґвбп б®ў®ЄгЇ®бвм в®зҐЄ
$$\{(\varphi(t),\psi(t))\in\RR^2\ |\ t\in \langle a, b\rangle\}$$
Ї«®бЄ®бвЁ.
\noindent {\it ЏаЁ¬Ґал «ЁЁ©, § ¤ ў Ґ¬ле Ї а ¬ҐваЁзҐбЄЁ.}
6. Џгбвм $r>0$ дЁЄбЁа®ў ®. “а ўҐЁп $x=r\cos t$, $y=r\sin t$,
$t\in [0,2\pi]$, -- Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ ®Єа㦮бвЁ
а ¤Ёгб $r>0$ б жҐв஬ ў з «Ґ Є®®а¤Ё в. ќв ¦Ґ ®Єа㦮бвм
¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ в Є¦Ґ Ё га ўҐЁҐ¬ $x^2+y^2-r^2=0$.
7. “а ўҐЁп $x=\theta\cos\theta$, $y=\theta\sin\theta$,
$\theta\in [0,+\infty)$ § ¤ ов Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ
бЇЁа «Ё ЂаеЁ¬Ґ¤ , га ўҐЁп $x=\theta^{-1}\cos\theta$,
$y=\theta^{-1}\sin\theta$, $\theta\in (0,+\infty)$ --
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ ЈЁЇҐаЎ®«ЁзҐбЄ®© бЇЁа «Ё.
8. Љ ¦¤л© Ја дЁЄ дгЄжЁЁ Ё§ ЇаЁ¬Ґа 5 ¬®¦® ЇаҐ¤бв ўЁвм Є Є
Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ЇаҐ¤бв ў«ҐЁҐ «ЁЁЁ $x=t$, $y=f(t)$, $t\in [a,b]$.
\noindent {\it Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ «ЁЁЁ.}
‚ ¦л¬ Є« бᮬ «ЁЁ© пў«повбп «ЁЁЁ, § ¤ ў Ґ¬лҐ «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁ¬Ё
га ўҐЁп¬Ё. ќв® га ўҐЁп б«Ґ¤гойЁе ўЁ¤®ў: $$Ax+By+C=0,\eqno(1)$$
$$Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0,\eqno(2)$$
$$Ax^3+Bx^2y+Cxy^2+Dy^3+Ex^2+Fxy+Gy^2+Hx+Iy+J=0\eqno(3)$$ Ё в.¤. ‚
нвЁе га ўҐЁпе $A,B,C,D,E,F,G,H,I,J$ -- ҐЄ®в®алҐ дЁЄбЁа®ў лҐ
зЁб« ; ®Ё §лў овбп Є®нддЁжЁҐв ¬Ё гЄ § ле га ўҐЁ©.
“а ўҐЁҐ (1) §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 1-© б⥯ҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬
Є®нддЁжЁҐвл $A$ Ё $B$ ®¤®ўаҐ¬Ґ® Ґ ®Ўа й овбп ў ®«м. Љ®а®вЄ®
нв® гб«®ўЁҐ ®Ўлз® § ЇЁблў ов в Є: $A^2+B^2\ne 0$. “а ўҐЁҐ (2)
§лў Ґвбп ®ЎйЁ¬ га ўҐЁҐ¬ 2-© б⥯ҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬
$A^2+B^2+C^2\ne 0$. Ђ «®ЈЁз®, га ўҐЁҐ (3) §лў Ґвбп ®ЎйЁ¬
га ўҐЁҐ¬ 3-© б⥯ҐЁ, Ґб«Ё ў Ґ¬ $A^2+B^2+C^2+D^2\ne 0$.
“а ўҐЁп 4-©, 5-© Ё ¤ «ҐҐ б⥯ҐҐ© бва®пвбп Ї® Ї®¤®Ўл¬ Їа ўЁ« ¬.
‚ Є зҐб⢥ Ґ «ЈҐЎа ЁзҐбЄЁе га ўҐЁ© ¬®¦® а бᬮваҐвм, Є
ЇаЁ¬Ґаг, в ЄЁҐ: $$y-\sin x=0,\qquad 2^{xy}-x-y=0.$$
€®Ј¤ «ЁЁп ¬®¦Ґв Ўлвм § ¤ ®ЇЁб ⥫мл¬ ®Ўа §®¬ (Є Є
ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, Ї®¤зЁҐле § ¤ ®¬г гб«®ўЁо). ЏаЁ
н⮬ ®¤Ё¬ Ё§ ЇҐаўле ў®§ЁЄ Ґв ў®Їа®б ® ўлў®¤Ґ га ўҐЁп нв®©
«ЁЁЁ (®Ўлз®Ј® Ё«Ё Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®Ј®). ’ Є, ЇаЁ¬Ґа, Ґ¤ЁЁз п
®Єа㦮бвм б жҐв஬ ў з «Ґ Є®®а¤Ё в ¬®¦Ґв § ¤ Є Є
ЈҐ®¬ҐваЁзҐбЄ®Ґ ¬Ґбв® в®зҐЄ, «Ґ¦ йЁе а ббв®пЁЁ 1 ®в з «
Є®®а¤Ё в.
\noindent {\it Џап¬лҐ «ЁЁЁ, Ё«Ё Їа®бв® Їап¬лҐ, Ї«®бЄ®бвЁ.}
Ђ«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁҐ «ЁЁЁ 1-© б⥯ҐЁ §лў ов Їап¬л¬Ё Ї«®бЄ®бвЁ.
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, га ўҐЁҐ¬, § ¤ ойЁ¬ Їап¬го Ї«®бЄ®бвЁ, пў«пҐвбп
га ўҐЁҐ $Ax+By+C=0$, $A$, $B$ Ё $C$ -- дЁЄбЁа®ў лҐ зЁб« ,
$A^2+B^2\ne 0$. Џа®Ё§ў®¤п ⮦¤ҐбвўҐлҐ ЇаҐ®Ўа §®ў Ёп а ўҐбвў
$Ax+By+C=0$, Ї®«гз ов а §«ЁзлҐ д®а¬л га ўҐЁп, § ¤ о饣® нвг
Їап¬го.
Ћ¤Ё¬ Ё§ в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў Ё© пў«пҐвбп 㬮¦ҐЁҐ Є®нддЁжЁҐв®ў
$A$, $B$ Ё $C$ га ўҐЁп ®¤® Ё ⮦Ґ зЁб«® $a\ne 0$: Ї®пв®,
зв® га ўҐЁп $$Ax+By+C=0\quad{\rm Ё}\quad (aA)x+(aB)y+(aC)=0$$
®ЇаҐ¤Ґ«пов ®¤г Ё вг ¦Ґ Їап¬го. Џ®бЄ®«мЄг Є®нддЁжЁҐвл $A$ Ё $B$
Ґ ¤®«¦л ®¤®ўаҐ¬Ґ® ®Ўа й вмбп ў ®«м, в® Ёб室®Ґ га ўҐЁҐ
ўбҐЈ¤ ¬®¦® ЇаЁўҐбвЁ Є ®¤®¬г Ё§ ¤ўге ўЁ¤®ў: Ґб«Ё $B\ne 0$, в®
ўлЎа ў $a=1/B$, Ї®«гзЁ¬ га ўҐЁҐ $y+(A/B)x+(C/B)=0$ -- ЇҐаўл©
ўЁ¤, Їап¬лҐ, ҐЇ а ««Ґ«млҐ ®бЁ $Oy$. …б«Ё ¦Ґ $B=0$, в® $A\ne 0$;
ўлЎа ў $a=1/A$, Ї®«гзЁ¬ га ўҐЁҐ $x+(C/A)=0$ -- ўв®а®© ўЁ¤,
Їап¬лҐ, Ї а ««Ґ«млҐ ®бЁ $Oy$.
Џгбвм $(x_1,y_1)$ Ё $(x_2,y_2)$ -- ¤ўҐ а §«ЁзлҐ в®зЄЁ, «Ґ¦ йЁҐ
®¤®© Їаאַ©: $Ax_1+By_1+C=0$, $Ax_2+By_2+C=0$. ’®Ј¤
$$A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0.$$ ‚ вҐа¬Ё е ®ЇҐа жЁЁ бЄ «па®Ј®
Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп ўҐЄв®а®ў Ї®б«Ґ¤ҐҐ а ўҐбвў® ¬®¦® ЇҐаҐЇЁб вм ў ўЁ¤Ґ
$((A,B),(x_1-x_2,y_1-y_2))=0$, в.Ґ. ўҐЄв®а $(x_1-x_2,y_1-y_2)$
ЇҐаЇҐ¤ЁЄг«пॠўҐЄв®аг $(A,B)$. €л¬Ё б«®ў ¬Ё, ўҐЄв®а
$(x_1-x_2,y_1-y_2)$ Їа®Ї®ажЁ® «Ґ ўҐЄв®аг $(B,-A)$. „«п «оЎ®©
Ї ал а §«Ёзле в®зҐЄ $(x_1,y_1)$ Ё $(x_2,y_2)$, «Ґ¦ йЁе ®¤®©
Їаאַ©, ўҐЄв®а $(x_1-x_2,y_1-y_2)$ ®бЁв бЇҐжЁ «м®Ґ §ў ЁҐ --
Їа ў«по饣® ўҐЄв®а нв®© Їаאַ©. ‘®Ј« б® бЄ § ®¬г ўлиҐ, ўбҐ
Їа ў«пойЁҐ ўҐЄв®а ®¤®© Їаאַ© Їа®Ї®ажЁ® «мл ¬Ґ¦¤г б®Ў®© Ё
Їа®Ї®ажЁ® «мл ўҐЄв®аг $(B,-A)$. ‚Ґа® в Є¦Ґ Ё ®Ўа ⮥: Ґб«Ё
в®зЄ $(x_1,y_1)$ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв Їаאַ© $Ax+By+C=0$, ўҐЄв®а
$(x_1-x_2,y_1-y_2)$ Їа®Ї®ажЁ® «Ґ ўҐЄв®аг $(B,-A)$, в® в®зЄ
$(x_2,y_2)$ ЇаЁ ¤«Ґ¦Ёв Їаאַ© $Ax+By+C=0$:
$$\{Ax_1+By_1+C=0,\quad A(x_1-x_2)+B(y_1-y_2)=0\}\Rightarrow\quad
Ax_2+By_2+C=0.$$ Џ®н⮬㠯ап¬го § ¤ ов в Є¦Ґ Ё ў в Є®© д®а¬Ґ:
Їап¬ п -- нв® б®ў®ЄгЇ®бвм Їа®Ї®ажЁ® «мле ўҐЄв®а®ў $t\bar{v}$
(§¤Ґбм $\bar{v}=(x_1-x_2,y_1-y_2)\ne \bar{0}$, $t\in\RR$)
Ї«®бЄ®бвЁ, ®в«®¦Ґле ®в ҐЄ®в®а®© дЁЄбЁа®ў ®© в®зЄЁ
$\bar{w}=(x_1,y_1)$ нв®© Ї«®бЄ®бвЁ: $$\{t\bar{v}+\bar{w}\ |\
t\in\RR\}.\eqno (4)$$ ‘®Ј« б® бЄ § ®¬г ўлиҐ, в Є п б®ў®ЄгЇ®бвм
Ґ § ўЁбЁв ®в ўлЎ®а Є®ЄаҐвле ЇаҐ¤бв ўЁвҐ«Ґ© $\bar{v}$ Ё
$\bar{w}$ Їаאַ©. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё Ё§ўҐбвл 2 а §«ЁзлҐ в®зЄЁ,
«Ґ¦ йЁҐ Є Є®©-«ЁЎ® Їаאַ©, в® (4) § ¤ Ґв нвг Їап¬го (ў, Ї® бгвЁ
¤Ґ« , Ї а ¬ҐваЁзҐбЄ®© д®а¬Ґ).
Ћ¤Ё¬ Ё§ ®б®ўле Ёбва㬥⮢, ЁбЇ®«м§гҐ¬ле ЇаЁ Ё§г票Ё
«ЈҐЎа ЁзҐбЄЁе «ЁЁ©, пў«пҐвбп бЄ «п஥ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ ўҐЄв®а®ў.
‚бЇ®¬Ё¬ ҐЈ® ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁҐ (ў з б⮬ б«гз Ґ, Є®Ј¤ ўҐЄв®а®Ґ
Їа®бва бвў® $\Re$ пў«пҐвбп Ї«®бЄ®бвмо):
Ћв®Ўа ¦ҐЁҐ $(\bar{v},\bar{w})$, ®Ў« бвмо ®ЇаҐ¤Ґ«ҐЁп Є®в®а®Ј®
пў«пҐвбп $\RR^2\times\RR^2$ --- ¬®¦Ґбвў® ўбҐў®§¬®¦ле Ї а
ўҐЄв®а®ў ўҐЄв®а®Ј® Їа®бва бвў $\RR^2$, ®Ў« бвмо § 票© ---
зЁб«®ў п Їап¬ п, §лў Ґвбп бЄ «пал¬ Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁҐ¬, Ґб«Ё
ўлЇ®«повбп 4 ЄбЁ®¬л бЄ «па®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп:
1) $(\bar{v},\bar{w})=(\bar{w},\bar{v})$,
2) $(\bar{v},\alpha \bar{w})=\alpha (\bar{v},\bar{w})$, $\alpha$
--- зЁб«® Ё, § зЁв, $(\alpha \bar{v},\beta \bar{w})=\alpha\beta
(\bar{v},\bar{w})$
3) $(\bar{v},\bar{w}_1+\bar{w}_2)=(\bar{v},\bar{w}_1)
+(\bar{v},\bar{w}_2)$,
4) $(\bar{v},\bar{v})>0$, Ґб«Ё $\bar{v}\neq 0$.
\noindent Љ Є Ё§ўҐбв®, ў вҐа¬Ё е бЄ «па®Ј® Їа®Ё§ўҐ¤ҐЁп
®ЇаҐ¤Ґ«повбп гЈ«л ¬Ґ¦¤г ўҐЄв®а ¬Ё Ё а ббв®пЁп ¬Ґ¦¤г в®зЄ ¬Ё.
“Ј«®¬ ( в®зҐҐ Ї а®© гЈ«®ў) ¬Ґ¦¤г ¤ўг¬п Їап¬л¬Ё
$$A_1x+B_1y+C_1=0\quad {\rm Ё}\quad A_2x+B_2y+C_2=0$$ §лў ов вг
Ї аг гЈ«®ў, Є®в®а п ®Ўа §®ў ўбҐў®§¬®¦л¬Ё Ї а ¬Ё Їа ў«пойЁе
ўҐЄв®а®ў нвЁе Їап¬ле. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ї а®© гЈ«®ў ¬Ґ¦¤г Їап¬л¬Ё
¬®¦® бзЁв вм ¤ў гЈ« : гЈ®« ¬Ґ¦¤г ўҐЄв®а ¬Ё $(B_1,-A_1)$ Ё
$(B_2,-A_2)$ Ё гЈ®« ¬Ґ¦¤г ўҐЄв®а ¬Ё $(B_1,-A_1)$ Ё $(-B_2,A_2)$
Ё«Ё, з⮠⮦Ґ б ¬®Ґ, гЈ®« ¬Ґ¦¤г ўҐЄв®а ¬Ё $(A_1,B_1)$ Ё
$(A_2,B_2)$ Ё гЈ®« ¬Ґ¦¤г ўҐЄв®а ¬Ё $(A_1,B_1)$ Ё $(-A_2,-B_2)$.
€®Ј¤ гЈ«®¬ ¬Ґ¦¤г Їап¬л¬Ё бзЁв ов ¬ҐмиЁ© Ё§ нвЁе ¤ўге гЈ«®ў.
Џгбвм $\{t\bar{v}+\bar{w}\ |\ t\in\RR\}$ -- ҐЄ®в®а п Їап¬ п
Ї«®бЄ®бвЁ, $\bar{u}$ -- ҐЄ®в®а п в®зЄ нв®© Ї«®бЄ®бвЁ.
% Џгбвм $\bar{u}=(u_1,u_2)$, $\bar{v}=(v_1,v_2)$, $\bar{w}=(w_1,w_2)$.
ђ ббв®пЁҐ¬ dist$(\bar{u},L)$ ®в в®зЄЁ $\bar{u}$ ¤® Їаאַ©
$L=\{t\bar{v}+\bar{w}\ |\ t\in\RR\}$ §лў ов ¬ЁЁ¬г¬
$$\min\{|\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w}|\ |\ t\in\RR\}$$ а ббв®пЁ© ®в
в®зЄЁ $\bar{u}$ ¤® а §«Ёзле в®зҐЄ $t\bar{v}+\bar{w}$ Їаאַ©.
‡ ЇЁиҐ¬ § ¤ зг 宦¤ҐЁп нв®Ј® а ббв®пЁп ў «ЁвЁзҐбЄ®© д®а¬Ґ:
Ї® бгвЁ ¤Ґ« 㦮 ©вЁ ¬ЁЁ¬г¬ дгЄжЁЁ
$$f(t)=(\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w},
\bar{u}-t\bar{v}-\bar{w})=(\bar{u}-\bar{w},\bar{u}-\bar{w})-2t(\bar{u}-\bar{w},
\bar{v})+t^2(\bar{v},\bar{v})$$ Ї® ЇҐаҐ¬Ґ®© $t$ (в®зҐҐ --
Єў ¤а в®Ј® Є®ап Ё§ $f(t)$). ”гЄжЁп $f(t)$ -- Ї а Ў®« б
ўҐвўп¬Ё, Їа ў«Ґл¬Ё ўўҐае (в.Є. $(\bar{v},\bar{v})\ne 0$). …Ґ
¬ЁЁ¬г¬ ¤®бвЁЈ Ґвбп ў в®зЄҐ $\tau$, Ј¤Ґ $f'(\tau)=0$. Џ®н⮬г
$$\tau(\bar{v},\bar{v})= (\bar{u}-\bar{w}, \bar{v}),\quad
f(\tau)=(\bar{u}-\bar{w},\bar{u}-\bar{w})-\tau(\bar{u}-\bar{w},
\bar{v})=\frac{(\bar{u}-\bar{w},\bar{u}-\bar{w})(\bar{v},\bar{v})-
(\bar{u}-\bar{w}, \bar{v})^2}{(\bar{v},\bar{v})}.$$ ‘®Ј« б®
Ґа ўҐбвўг Љ®иЁ-ЃгпЄ®ўбЄ®Ј® $f(\tau)\geqslant 0$,
dist$(\bar{u},L)=\sqrt{f(\tau)}$.
Соседние файлы в папке Введение в аналитическую геометрию