Учебники, методички / Введение в аналитическую геометрию / s2lla4

\vspace{0.5in}

\noindent ‹…Љ–€џ 2.4. {\it ЏаҐ®Ўа §®ў ­Ёп Є®®а¤Ё­ в. ‘®Ўб⢥­­лҐ
ўҐЄв®ал Ё б®Ўб⢥­­лҐ зЁб«  ¬ ваЁжл, Ёе бў®©бвў .
• а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ© ¬­®Ј®з«Ґ­ ¬ ваЁжл, ҐЈ® бў®©бвў .}

Џгбвм $x,y$ -- ¤ҐЄ ав®ўл Є®®а¤Ё­ вл Ї«®бЄ®бвЁ. ђ бᬮваЁ¬ Ї®­пвЁҐ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп нв®© Ї«®бЄ®бвЁ. ЋзҐ­м з бв® ў Є зҐб⢥
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© ўлбвгЇ Ґв ­Ґ ®¤­®,   楫®Ґ ᥬҐ©бвў®, § ўЁбп饥 ®в
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­®Ј® Ї а ¬Ґва  $v$, ®в®Ўа ¦Ґ­Ё© $A[v]$ Ї«®бЄ®бвЁ ў ᥡп,
®Ў« ¤ о饥 б।Ё Їа®зЁе б«Ґ¤гойЁ¬Ё ў ¦­л¬Ё бў®©бвў ¬Ё:\\ 1) ¤«п
«оЎле ¤ўге §­ зҐ­Ё© Ї а ¬Ґва  $v_1$, $v_2$ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп
$A[v_1]$, $A[v_2]$ ¬®¦­® ўлЇ®«­Ёвм Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­® ®¤­® §  ¤агЈЁ¬:
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ , Є Є Ј®ў®апв, Є®¬Ї®§ЁжЁп $A[v_2]\circ A[v_1]$ нвЁе
®в®Ўа ¦Ґ­Ё©,\\ 2) ЇаЁ ­ҐЄ®в®а®¬ §­ зҐ­ЁЁ Ї а ¬Ґва  $v_0$
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ $A[v_0]=\,$Id пў«пҐвбп ⮦¤Ґб⢥­­л¬ (в.Ґ.
®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ¬, ®бв ў«пойЁ¬ ўбҐ в®зЄЁ Ї«®бЄ®бвЁ ­ҐЇ®¤ўЁ¦­л¬Ё),\\ 3)
¤«п Є ¦¤®Ј® §­ зҐ­Ёп Ї а ¬Ґва  $v_1$ ­ ©¤Ґвбп в Є®© Ї а ¬Ґва
$v_2$, зв® Є®¬Ї®§ЁжЁп ®в®Ўа ¦Ґ­Ё© $A[v_2]\circ A[v_1]=Ђ[v_0]$
пў«пҐвбп ⮦¤Ґб⢥­­л¬ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ¬. ЋЎ н⮬ бў®©б⢥ Ј®ў®апв ҐйҐ,
зв® ¤«п Є ¦¤®Ј® ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $A[v_1]$ Ё¬ҐҐвбп ®Ўа в­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ
$A[v_2]$.

ђ бᬮваЁ¬ ­ҐЄ®в®алҐ ЇаЁ¬Ґал Їа®б⥩иЁе ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© Ї«®бЄ®бвЁ.
‚ ЇҐаўго ®зҐаҐ¤м Є ­Ё¬ ®в­®бЁвбп б¤ўЁЈ $\RR^2$ Є Є 楫®Ј® ў¤®«м
Є Є®Ј®-«ЁЎ® ўҐЄв®а  $\bar{z}_1=(x_1,y_1)^\ast$. ќв® ®§­ з Ґв, зв®
Є ¦¤л© ўҐЄв®а $\bar{z}$ Ё§ $\RR^2$ § ¬Ґ­пҐвбп ­  ўҐЄв®а
$\bar{z}+\bar{z}_1$. ‚ Є®®а¤Ё­ в е в Є®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ Ё¬ҐҐв ўЁ¤
$$x\to x+x_1,\quad y\to y+y_1.$$ …б«Ё нв® ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ
®Ў®§­ зЁвм Є Є $S[\bar{z}_1]:\RR^2\to\RR^2$, в® Ї® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёо
$$S[\bar{z}_1](\bar{z})=\bar{z}+\bar{z}_1$$ ¤«п Є ¦¤®Ј®
$\bar{z}\in\RR^2$. …б«Ё $\bar{z}_1,\bar{z}_2\in\RR^2$ дЁЄбЁа®ў ­л,
в® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­  Є®¬Ї®§ЁжЁп ¤ўге б¤ўЁЈ®ў -- б­ з «  $S[\bar{z}_1]$ ­ 
ўҐЄв®а $\bar{z}_1$,   Ї®в®¬ $S[\bar{z}_2]$ ­  ўҐЄв®а $\bar{z}_2$:
$$(S[\bar{z}_2]\circ S[\bar{z}_1])(\bar{z})=
(S[\bar{z}_2])(\bar{z}+\bar{z}_1)= \bar{z}+\bar{z}_1+\bar{z}_2.$$
’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $S[\bar{z}_2]\circ
S[\bar{z}_1]=S[\bar{z}_2+\bar{z}_1]=S[\bar{z}_1]\circ
S[\bar{z}_2]$. ’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ¬ пў«пҐвбп б¤ўЁЈ ­ 
­г«Ґў®© ўҐЄв®а $S[\bar{0}]$, ®Ўа в­л¬ Є $S[\bar{z}_1]$ пў«пҐвбп
$S[-\bar{z}_1]$.

‘«Ґ¤гойЁ© ЇаЁ¬Ґа -- а бв殮­Ёп (Ј®¬®вҐвЁЁ) Ї«®бЄ®бвЁ $G[\lambda]$,
$\lambda\in\RR$, $\lambda\ne 0$. ‚ Є®®а¤Ё­ в е нв® ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ
®ЇаҐ¤Ґ«пҐвбп д®а¬г« ¬Ё $$x\to \lambda x,\quad y\to \lambda y.$$
…б«Ё $\lambda_1,\lambda_2\in\RR$, в® $$(G[\lambda_2]\circ
G[\lambda_1])(\bar{z})= (G[\lambda_2])(\lambda_1\bar{z})=
\lambda_2\lambda_1\bar{z}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, $G[\lambda_2]\circ
G[\lambda_1]=G[\lambda_2\lambda_1]=G[\lambda_1]\circ
G[\lambda_2]$. ’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ¬ пў«пҐвбп Ј®¬®вҐвЁп
$G[1]$ б Є®нддЁжЁҐ­в ¬ 1, ®Ўа в­л¬ Є $G[v_1]$ пў«пҐвбп
$G[1/v_1]$.\\ ‘®ў¬Ґй п нвЁ ¤ў  ЇаЁ¬Ґа  Ї®«гз о⠯८Ўа §®ў ­Ёп,
­ §лў Ґ¬лҐ б¤ўЁЈ ¬Ё ў¬Ґб⥠б а бв殮­Ёп¬Ё
$SG[\lambda_1,\bar{z}_1]$, $\lambda_1\ne 0$,
$\bar{z}_1=(x_1,y_1)\in\RR^2$. ќвЁ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп § ¤ овбп
д®а¬г« ¬Ё $$x\to \lambda_1x+x_1,\quad y\to\lambda_1y+y_1$$ Ё«Ё
$SG[\lambda_1,\bar{z}_1](\bar{z})=\lambda_1\bar{z}+\bar{z}_1$.
…б«Ё $SG[\lambda_1,\bar{z}_1]$, $SG[\lambda_2,\bar{z}_2]$ -- ¤ў 
в ЄЁе ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп, в® $$(SG[\lambda_2,\bar{z}_2]\circ
SG[\lambda_1,\bar{z}_1])(\bar{z})=SG[\lambda_2,\bar{z}_2]
(\lambda_1\bar{z}+\bar{z}_1)=\lambda_2(\lambda_1\bar{z}+
\bar{z}_1)+\bar{z}_2=\lambda_2\lambda_1\bar{z}+
\lambda_2\bar{z}_1+\bar{z}_2.$$ ’®з­® в Є¦Ґ
$$(SG[\lambda_1,\bar{z}_1]\circ
SG[\lambda_2,\bar{z}_2])(\bar{z})=\lambda_2\lambda_1\bar{z}+
\lambda_1\bar{z}_2+\bar{z}_1.$$ Џ®н⮬г, ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап,
$SG[\lambda_1,\bar{z}_1]\circ SG[\lambda_2,\bar{z}_2]\ne
SG[\lambda_2,\bar{z}_2]\circ SG[\lambda_1,\bar{z}_1]$.
’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ пў«пҐвбп $SG[1,\bar{0}]$,
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ ®Ўа в­л¬ Є $SG[\lambda_1,\bar{z}_1]$ пў«пҐвбп
$SG[1/\lambda_1,-\bar{z}_1/\lambda_1]$:
$$(SG[1/\lambda_1,-\bar{z}_1/\lambda_1]\circ
SG[\lambda_1,\bar{z}_1])(\bar{z})=(\lambda_1\bar{z}+
\bar{z}_1)/\lambda_1-\bar{z}_1/\lambda_1=\bar{z}.$$ ‘«Ґ¤гойЁ¬
ў ¦­л¬ ЇаЁ¬Ґа®¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© Ї«®бЄ®бвЁ пў«пҐвбп ҐҐ ўа йҐ­ЁҐ
$R[\varphi]$ ­  гЈ®« $\varphi$ ®в­®бЁвҐ«м­® ­ з «  Є®®а¤Ё­ в
(Ї®«®¦ЁвҐ«м­л¬ §­ зҐ­Ёп¬ $\varphi$ ®вўҐз ов ўа йҐ­Ёп Їа®вЁў
з б®ў®© бв५ЄЁ, ®ваЁж вҐ«м­л¬ -- Ї®). ‚ Є®®а¤Ё­ в е нв®
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ § ¤ Ґвбп б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬: $$x\to
x\cos\varphi-y\sin\varphi,\quad y\to
x\sin\varphi+y\cos\varphi.\eqno (1)$$ ќв® ®§­ з Ґв, зв® ўҐЄв®а б
Є®®а¤Ё­ в ¬Ё $(x,y)^\ast$ ЇаҐўа й Ґвбп ў ўҐЄв®а б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё
$(x\cos\varphi-y\sin\varphi,\ x\sin\varphi+y\cos\varphi)^\ast$.
Џ®б¬®ваЁ¬, зв® пў«пҐвбп ®Ўа §®¬ Ў §Ёб­ле ўҐЄв®а®ў
$\bar{e}_1=(1,0)^\ast$, $\bar{e}_2=(0,1)^\ast$. ‘®Ј« б­®
ЇаЁўҐ¤Ґ­­л¬ д®а¬г« ¬
$R[\varphi](\bar{e}_1)=(\cos\varphi,\sin\varphi)^\ast$,
$R[\varphi](\bar{e}_2)=(-\sin\varphi,\cos\varphi)^\ast$. ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, ¤Ґ©б⢨⥫쭮, ўҐЄв®а  $R[\varphi](\bar{e}_1)$,
$R[\varphi](\bar{e}_2)$ Ї®«гз овбп ўа йҐ­ЁҐ¬ ўҐЄв®а®ў $\bar{e}_1$,
$\bar{e}_2$ ­  гЈ®« $\varphi$. Џ®«­го Їа®ўҐаЄг в®Ј®, зв®
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ (1) ®бгйҐбвў«пҐв гЄ § ­­л© Ї®ў®а®в ®бв ў«пҐ¬ ¤«п
б«ги вҐ«Ґ©. ‡¤Ґбм «Ёим ўлзЁб«Ё¬, 祬г а ўҐ­ Є®бЁ­гб гЈ«  ¬Ґ¦¤г
ўҐЄв®а ¬Ё $\bar{z}=(x,y)^\ast$ Ё $R[\varphi](\bar{z})$,   в Є¦Ґ
¤«Ё­г ўҐЄв®а  $R[\varphi](\bar{z})$. Ќ з­Ґ¬ б Ї®б«Ґ¤­ҐЈ®. ‘®Ј« б­®
®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп¬ $$|\bar{z}|=\sqrt{x^2+y^2},\quad
|R[\varphi](\bar{z})|= \sqrt{(x\cos\varphi-y\sin\varphi)^2+
(x\sin\varphi+y\cos\varphi)^2}=\sqrt{x^2+y^2}=|\bar{z}|.$$ „ «ҐҐ
$$\cos(\bar{z},R[\varphi](\bar{z}))=
\frac{(\bar{z},R[\varphi](\bar{z}))}{|\bar{z}|\cdot|R[\varphi](\bar{z})|}
=\frac{(x^2+y^2)\cos\varphi}{|\bar{z}|^2}=\cos\varphi.$$ Џ®«м§гпбм
д®а¬г« ¬Ё г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж, ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ (1) ¬®¦Ґв § ЇЁб ­® ў ўЁ¤Ґ
$$R[\varphi](\bar{z})= \begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi
\\ \sin\varphi& \cos\varphi\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x \\ y\end{pmatrix}\eqno (2)$$ Ё«Ё
$R[\varphi](\bar{z})=A[\varphi]\bar{z}$, Ј¤Ґ
$$A[\varphi]=\begin{pmatrix}\cos\varphi & -\sin\varphi \\
\sin\varphi& \cos\varphi\end{pmatrix}.$$ ‚ бўп§Ё б (2) Ј®ў®апв,
зв® г¬­®¦Ґ­Ёо ўҐЄв®а  $\bar{z}$ ­  ¬ ваЁжг $A[\varphi]$
ᮮ⢥вбвўгҐв Ї®ў®а®в нв®Ј® ўҐЄв®а  ­  гЈ®« $\varphi$.

’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ ў н⮬ ЇаЁ¬ҐаҐ пў«пҐвбп Ї®ў®а®в ­ 
­г«Ґў®© гЈ®«, ®Ўа в­л¬ Є Ї®ў®а®вг ­  гЈ®« $\varphi$ пў«пҐвбп
Ї®ў®а®в ­  гЈ®« $-\varphi$. ‘®Ј« б­® б¬лб«г ўўҐ¤Ґ­­ле ®ЇҐа жЁ©
$R[\varphi_2]\circ R[\varphi_1]=R[\varphi_2+\varphi_1]=
R[\varphi_1]\circ R[\varphi_2]$. Ћ¤­Ё¬ Ё§ б«Ґ¤бвўЁ© нв®Ј®
а ўҐ­бвў  пў«пҐвбп в®, зв® ¤ўг¬ Ї®б«Ґ¤®ў вҐ«м­л¬ ўа йҐ­Ёп¬
Ї«®бЄ®бвЁ б­ з «  ­  гЈ®« $\varphi_1$, Ї®в®¬ ­  гЈ®« $\varphi_2$
ᮮ⢥вбвўгҐв г¬­®¦Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а  $\bar{z}$ ­  ¬ ваЁжг
$A[\varphi_2+\varphi_1]$, а ў­го Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­Ёп¬
$A[\varphi_2]A[\varphi_1]$ Ё $A[\varphi_1]A[\varphi_2]$:
$$A[\varphi_2+\varphi_1]\bar{z}=R[\varphi_2+\varphi_1](\bar{z})=
(R[\varphi_2]\circ R[\varphi_1])(\bar{z})=
R[\varphi_2](A[\varphi_1]\bar{z})=(A[\varphi_2])A[\varphi_1]\bar{z}.$$
ЋЎ®ЎйҐ­ЁҐ¬ Ї®б«Ґ¤­ҐЈ® ЇаЁ¬Ґа  б«г¦Ёв «Ё­Ґ©­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ
Ї«®бЄ®бвЁ. ’ Є ­ §лў ов ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $L[A]$, § ¤ ў Ґ¬®Ґ ў
Є®®а¤Ё­ в е б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬ $$x\to ax+by,\quad y\to cx+dy,\quad
A=\begin{pmatrix}a & b \\ c& d\end{pmatrix},\quad {\rm det}\,A\ne
0.$$ Ћ­® § ЇЁблў Ґвбп в Є¦Ґ Ё ў ўЁ¤Ґ $L[A](\bar{z})=A\bar{z}$.
…б«Ё $A_1$, $A_2$ -- ¤ўҐ ¬ ваЁжл а §¬Ґа  $2\times 2$ б ­Ґ­г«Ґўл¬Ё
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п¬Ё, в® Є®¬Ї®§ЁжЁЁ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© $L[A_2]\circ L[A_1]$
ᮮ⢥вбвўгҐв Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ¬ ваЁж $A_2\cdot A_1$: $$(L[A_2]\circ
L[A_1])(\bar{z})=L[A_2](A_1\bar{z})=A_2(A_1\bar{z})= (A_2\cdot
A_1)\bar{z}.$$ ЏаЁ н⮬ Є®¬Ї®§ЁжЁЁ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© $L[A_1]\circ
L[A_2]$ ᮮ⢥вбвўгҐв Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ $A_1\cdot A_2$. ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬,
ў®®ЎйҐ Ј®ў®ап, $L[A_1]\circ L[A_2]\ne L[A_2]\circ L[A_1]$.
’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ ў н⮬ ЇаЁ¬ҐаҐ пў«пҐвбп ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ
$L[E]$, $E$ -- Ґ¤Ё­Ёз­ п ¬ ваЁж , ®Ўа в­л¬ Є $L[A]$ б«г¦Ёв
$L[A^{-1}]$.

Џ®б«Ґ¤­Ё© ЇаЁ¬Ґа ЎҐ§ Є ЄЁе-«ЁЎ® § ¬Ґв­ле Ё§¬Ґ­Ґ­Ё© ЇҐаҐ­®бЁвбп ­ 
Їа®бва ­бвў® «оЎ®Ј® зЁб«  Ё§¬ҐаҐ­Ё©. Џгбвм $n\in\NN$, ўҐЄв®а
$\bar{z}\in\RR^n$ -- ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж а §¬Ґа  $n\times 1$, § ¤ ­­л©
бў®Ё¬Ё Є®®а¤Ё­ в ¬Ё ў ­ҐЄ®в®а®© бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в. ‹Ё­Ґ©­л¬
ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ $L[A]$, det$\, A\ne 0$, ­ §лў ов ®ЇҐа в®а
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  ¬ ваЁжг $A$: $$L[A](\bar{z})=A\bar{z}.$$ …б«Ё $A_1$,
$A_2$ -- ¤ўҐ ¬ ваЁжл а §¬Ґа  $n\times n$ б ­Ґ­г«Ґўл¬Ё
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«п¬Ё, в® Є®¬Ї®§ЁжЁЁ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© $L[A_2]\circ L[A_1]$
ᮮ⢥вбвўгҐв Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ ¬ ваЁж $A_2\cdot A_1$, Є®¬Ї®§ЁжЁЁ
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ё© $L[A_1]\circ L[A_2]$ ᮮ⢥вбвўгҐв Їа®Ё§ўҐ¤Ґ­ЁҐ
$A_1\cdot A_2$. ’®¦¤Ґб⢥­­л¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ¬ ў н⮬ ЇаЁ¬ҐаҐ
пў«пҐвбп ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $L[E]$, $E$ -- Ґ¤Ё­Ёз­ п ¬ ваЁж , ®Ўа в­л¬ Є
$L[A]$ б«г¦Ёв $L[A^{-1}]$. Ћ¤­Ё¬ Ё§ бў®©бвў «Ё­Ґ©­®Ј®
ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп $L[A]$, det$\, A\ne 0$, пў«пҐвбп в®, зв® ®Ўа §®¬
ўбпЄ®© «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®© бЁбвҐ¬л ўҐЄв®а®ў пў«пҐвбп ®Їпвм ¦Ґ
«Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ п бЁб⥬ : ¤®Є § вҐ«мбвў® а бᬮваЁ¬ ­  ЇаЁ¬ҐаҐ
ваҐе «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а®ў $\bar{z}_1$, $\bar{z}_2$,
$\bar{z}_3$ Ё§ $\RR^n$ (¤®Є § вҐ«мбвў® ў ®ЎйҐ¬ б«гз Ґ б ­Ё¬
б®ўЇ ¤ Ґв). €в Є, ­ ¤® Їа®ўҐаЁвм, зв® ўҐЄв®а  $A\bar{z}_1$,
$A\bar{z}_2$, $A\bar{z}_3$ Ё§ $\RR^n$ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л.
ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ $$c_1\,A(\bar{z}_1)+c_2\,A(\bar{z}_2)+
c_3\,A(\bar{z}_3)=\bar{0}.$$ ’®Ј¤ 
$$\bar{0}=L[A^{-1}](\bar{0})=L[A^{-1}](c_1\,A(\bar{z}_1)+
c_2\,A(\bar{z}_2)+ c_3\,A(\bar{z}_3))=c_1\,\bar{z}_1+
c_2\,\bar{z}_2+ c_3\,\bar{z}_3.$$ Џ®н⮬г $c_1$, $c_2$, $c_3$
а ў­л ­г«о Ё $A\bar{z}_2$, $A\bar{z}_3$ Ё§ $\RR^n$ -- «Ё­Ґ©­®
­Ґ§ ўЁбЁ¬л. ‚бЇ®¬Ё­ п ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ Ў §Ёб  Ї®«гз Ґ¬ ®вбо¤ , зв® ЇаЁ
«Ё­Ґ©­®¬ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁЁ $L[A]$ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$ ®Ўа §®¬ ўбпЄ®©
Ў §Ёб­®© бЁбвҐ¬л ўҐЄв®а®ў пў«пҐвбп Ў §Ёб­ п бЁб⥬  ўҐЄв®а®ў.

ЋЎ®ЎйҐ­ЁҐ¬ «Ё­Ґ©­®Ј® ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп $L[A]$ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$
б«г¦Ёв ®ЇҐа жЁп г¬­®¦Ґ­Ёп ­  ¬ ваЁжг $B$ а §¬Ґа  $n\times n$ c
Їа®Ё§ў®«м­л¬ ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ¬. ќвг ®ЇҐа жЁо Є Є Ё ўлиҐ Ўг¤Ґ¬
®Ў®§­ з вм $L[B]$: $$L[B](\bar{z})=B\bar{z}.$$ Џгбвм $L[A]$ --
«Ё­Ґ©­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$, $L[B]$ -- ®ЇҐа жЁп
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  Їа®Ё§ў®«м­го Єў ¤а в­го ¬ ваЁжг Ї®ап¤Є  $n$ ў
Їа®бва ­б⢥ $\RR^n$. ЋЎ®§­ зЁ¬ $$\bar u=L[B](\bar{z})=
B\bar{z},\quad \bar v=L[A](\bar{u})= A\bar{u},\quad \bar
w=L[A](\bar{z})= A\bar{z}.$$ ’®Ј¤  $$\bar u=L[A^{-1}](\bar{v})=
A^{-1}\bar{v},\quad \bar z=L[A^{-1}](\bar{w})=A^{-1}\bar{w}.$$
Џ®н⮬г $$L[A^{-1}](\bar{v})= A^{-1}\bar{v}=B(A^{-1}\bar{w}),\quad
\bar{v}=ABA^{-1}\bar{w}.$$ Џ®«г祭­ п д®а¬г« 
$\bar{v}=ABA^{-1}\bar{w}$ ®ва ¦ Ґв Їа ўЁ«® Ё§¬Ґ­Ґ­Ёп ўЁ¤  ¬ ваЁжл
$B$, б Ї®¬®ймо Є®в®а®© § ¤ Ґвбп «Ё­Ґ©­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $L[B]$ ЇаЁ
«Ё­Ґ©­®© § ¬Ґ­Ґ ЇҐаҐ¬Ґ­­®© $\bar u\to A\bar u$. ќв® Їа ўЁ«®
в Є®ў®: $B\to ABA^{-1}$. Ћ­® ®§­ з Ґв, зв® Ґб«Ё $L[B]$ -- ®ЇҐа в®а
г¬­®¦Ґ­Ёп ­  ¬ ваЁжг $B$ ў бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в, бўп§ ­­®© б
$\bar{z}$, в® ў бЁб⥬Ґ Є®®а¤Ё­ в, бўп§ ­­®© б $\bar{w}$, нв®в
®ЇҐа в®а пў«пҐвбп ®ЇҐа в®а®¬ г¬­®¦Ґ­Ёп ­  ¬ ваЁжг $ABA^{-1}$.

ЏҐаҐ©¤Ґ¬ Є а бᬮв७Ёо Ї®­пвЁп б®Ўб⢥­­ле ўҐЄв®а®ў Ё б®Ўб⢥­­ле
§­ зҐ­Ё© ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп $L[B]$. ‚ҐЄв®а $\bar{z}\in\RR^n$,
$\bar{z}\neq\bar{0}$ ­ §лў ов б®Ўб⢥­­л¬ ўҐЄв®а®¬ ®ЇҐа в®а 
$L[B]$, Ґб«Ё $B(\bar{z})=\lambda\bar{z}$, ¤«п ­ҐЄ®в®а®Ј®
$\lambda$. —Ёб«® $\lambda$ ­ §лў ов б®Ўб⢥­­л¬ §­ зҐ­ЁҐ¬
®ЇҐа в®а  $L[B]$.

\noindent {\bf ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ 1}. ЋЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $(B-t E)$
­ §лў ов е а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ¬ ¬­®Ј®з«Ґ­®¬ ®ЇҐа в®а  $L[B]$.

\noindent {\bf ’Ґ®аҐ¬  1}.  ) • а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ© ¬­®Ј®з«Ґ­ $P(t)$
®ЇҐа в®а  $L[B]$ ­Ґ § ўЁбЁв ®в ўлЎ®а  бЁбвҐ¬л Є®®а¤Ё­ в. Ў) ‹оЎ®Ґ
б®Ўб⢥­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ®ЇҐа в®а  $L[B]$ пў«пҐвбп Є®а­Ґ¬ $P(t)$ Ё
®Ўа в­® «оЎ®© Є®аҐ­м $P(t)$ пў«пҐвбп б®Ўб⢥­­л¬ §­ зҐ­ЁҐ¬
®ЇҐа в®а  $L[B]$.

\noindent $\vartriangleleft:$ Љ®а®вЄ® ¤®Є § вҐ«мбвў®  ) пў«пҐвбп
б«Ґ¤бвўЁҐ¬ в Є®© ўлЄ« ¤ЄЁ:
$$|ABA^{-1}-tE|=|A(B-tE)A^{-1}|=|A||(B-tE)||A^{-1}|=|(B-tE)|.$$ Ў)
Ґб«Ё $\lambda$ --- Є®аҐ­м $P(t)$, в® ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл
$(B-\lambda E)$ а ўҐ­ ­г«о, зв® ®§­ з Ґв бгйҐбвў®ў ­ЁҐ ­Ґ­г«Ґў®Ј®
аҐиҐ­Ёп бЁбвҐ¬л «Ё­Ґ©­ле га ў­Ґ­Ё© $(B-\lambda E)\bar z=\bar 0$.
ќв® ®§­ з Ґв, зв® зЁб«г $\lambda$ ᮮ⢥вбвўгҐв ­ҐЄ®в®ал©
б®Ўб⢥­­л© ўҐЄв®а. ЋЎа в­®: $$B(\bar{z})=
\lambda\bar{z}\Rightarrow\quad (B-\lambda E)\bar{z}=\bar
0\Rightarrow\quad |A-\lambda E|=0.\ \vartriangleright$$

\noindent {\bf ‹Ґ¬¬  1}. ‘®Ўб⢥­­лҐ ўҐЄв®а  ®ЇҐа в®а  $L[B]$,
ᮮ⢥вбвўгойЁҐ ®¤­®¬г б®Ўб⢥­­®¬г §­ зҐ­Ёо $\lambda$, ®Ўа §гов
ўҐЄв®а­®Ґ Їа®бва ­бвў®.

\noindent $\vartriangleleft:$
$B(\bar{z}_1+c\,\bar{z}_2)=B(\bar{z}_1)+c\,B(\bar{z}_2)=\lambda
\bar{z}_1+ c\,\lambda\bar{z}_2=\lambda(\bar{z}_1+ c\,\bar{z}_2)$.
$\vartriangleright$

\noindent {\bf ‹Ґ¬¬  2}. ‘®Ўб⢥­­лҐ ўҐЄв®а  ®ЇҐа в®а  $L[B]$,
ᮮ⢥вбвўгойЁҐ а §­л¬ б®Ўб⢥­­л¬ §­ зҐ­Ёп¬, «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л.

\noindent $\vartriangleleft:$ ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬
$B(\bar{z}_1)=\lambda_1\bar{z}_1$,
$B(\bar{z}_2)=\lambda_2\bar{z}_2$, $B(\bar{z}_3)=
\lambda_3\bar{z}_3$, ўбҐ $\lambda$ --- а §«Ёз­лҐ зЁб« ,
$$c_1\bar{z}_1+c_2\bar{z}_2+c_3\bar{z}_3=\bar{0}$$ Ё, ­ ЇаЁ¬Ґа,
$c_1\neq 0$. ’®Ј¤ , ЇаЁ¬Ґ­Ёў ®ЇҐа в®а $L[B]$ Є ®ЎҐЁ¬ з бвп¬ нв®Ј®
а ўҐ­бвў , Ї®«гзЁ¬ $$c_1\lambda_1\bar{z}_1+c_2\lambda_2\bar{z}_2+
c_3\lambda_3\bar{z}_3=\bar{0},\quad
c_1(\lambda_1-\lambda_3)\bar{z}_1+c_2(\lambda_2-\lambda_3)\bar{z}_2=
\bar{0}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ўҐЄв®а  $\bar{z}_1$, $\bar{z}_2$
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л --- Їа®вЁў®аҐзЁҐ. ‘«гз © Ў®«м襣® зЁб«  ўҐЄв®а®ў
а бб¬ ваЁў Ґвбп  ­ «®ЈЁз­®. $\vartriangleright$

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё ®ЇҐа в®а $L[B]$, § ¤ ­­л© ў $n$-¬Ґа­®¬
Їа®бва ­б⢥, Ё¬ҐҐв $n$ а §«Ёз­ле б®Ўб⢥­­ле §­ зҐ­Ё©, в® ®­
Ё¬ҐҐв Ў §Ёб, б®бв®пйЁ© Ё§ $n$ б®Ўб⢥­­ле ўҐЄв®а®ў. ‚ н⮬ Ў §ЁбҐ
¬ ваЁж  $ABA^{-1}$ ®ЇҐа в®а  $L[B]$ Ё¬ҐҐв ¤Ё Ј®­ «м­л© ўЁ¤.