Учебники, методички / Введение в линейную алгебру / Lla08

\section*{\it ‹ҐЄжЁп 8.}


\noindent{\bf ‹Ё­Ґ©­лҐ ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёп Є®®а¤Ё­ в. ‘®Ўб⢥­­лҐ
ўҐЄв®а  Ё б®Ўб⢥­­лҐ §­ зҐ­Ёп. • а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ© ¬­®Ј®з«Ґ­.}

Ќ Ї®¬­Ё¬, зв® бЁб⥬㠢ҐЄв®а®ў $\bar{y}^j$, $j=1,\dots,k$ ў
Їа®бва ­б⢥ $\RR^n$ ­ §лў ов «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬®©, Ґб«Ё бЁб⥬ 
га ў­Ґ­Ё© $$a_1\bar{y}^1+a_2\bar{y}^2+\dots+a_k\bar{y}^k=\bar{0}
\eqno (1)$$ ®в­®бЁвҐ«м­® ­ҐЁ§ўҐбв­ле $a_j$, $j=1,\dots,k$, Ё¬ҐҐв
в®«мЄ® ®¤­® аҐиҐ­ЁҐ: $a_j=0$, $j=1,\dots,k$. ѓ®ў®апв, зв® нв 
бЁб⥬  ўҐЄв®а®ў «Ё­Ґ©­® § ўЁбЁ¬ , Ґб«Ё ®­  ­Ґ пў«пҐвбп «Ё­Ґ©­®
­Ґ§ ўЁбЁ¬®©.\\ \noindent{’Ґ®аҐ¬ } (® бў®©бвў е а ­Ј  ¬ ваЁжл.
Ќ Ї®¬Ё­ ­ЁҐ.) ђ ­Ј ¬ ваЁжл $A$ б®ўЇ ¤ Ґв б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ зЁб«®¬
«Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а®ў Ё§ $\bar{x}^j\in\RR^m$, $j=1,\dots,n$
Ё б®ўЇ ¤ Ґв б ¬ ЄбЁ¬ «м­л¬ зЁб«®¬ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬ле ўҐЄв®а®ў Ё§
$\bar{x}_i\in\RR^n$, $i=1,\dots,m$ (§¤Ґбм $\bar{x}^j$ Ё
$\bar{x}_i$ -- бв®«Ўжл Ё бва®ЄЁ ¬ ваЁжл $A$).

Ѓ §Ёб®¬ ў Їа®бва ­б⢥ $\RR^n$ ­ §лў ов ўбпЄго «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬го
бЁб⥬㠨§ $n$ ўҐЄв®а®ў $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$. €§-§  «Ё­Ґ©­®©
­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвЁ нв®© бЁб⥬л ба §г б«Ґ¤гҐв, зв® ­Ё ®¤Ё­ Ё§ ўҐЄв®а®ў
$\bar{y}^j$ ­Ґ пў«пҐвбп ­г«Ґўл¬ (Ґб«Ё, ­ ЇаЁ¬Ґа,
$\bar{y}^1=\bar{0}$, в® $(a,0,\dots,0)$ --  аҐиҐ­ЁҐ (1) ЇаЁ «оЎ®¬
$a\in\RR$). ‚ Є зҐб⢥ ЇаЁ¬Ґа  Ў §Ёб  ў $\RR^n$ ¬л 㦥
а бб¬ ваЁў «Ё бв ­¤ ав­л© ®ав®Ј®­ «м­л© Ў §Ёб $\RR^n$ Ё, Ў®«ҐҐ
®Ўй®, Їа®Ё§ў®«м­го бЁб⥬㠨§ $n$ ­Ґ­г«Ґўле Ё ®ав®Ј®­ «м­ле ¤агЈ
¤агЈг ўҐЄв®а®ў.

Џгбвм $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$ -- Їа®Ё§ў®«м­л© Ў §Ёб ў $\RR^n$,
$\bar{y}\in\RR^n$. ‚ бЁ«г вҐ®аҐ¬л ® бў®©бвў е а ­Ј  ¬ ваЁж ,
бв®«Ўж ¬Ё Є®в®а®© пў«повбп ўҐЄв®а-бв®«Ўжл $\bar{y},\bar{y}^1,
\dots,\bar{y}^n$, Ё¬ҐҐв а §¬Ґа $n\times (n+1)$ Ё, §­ зЁв, ҐҐ а ­Ј
а ўҐ­ $n$. Џ®н⮬г бЁб⥬  га ў­Ґ­Ё©
$$a_0\bar{y}+a_1\bar{y}^1+a_2\bar{y}^2+\dots+a_n\bar{y}^n=\bar{0}$$
®в­®бЁвҐ«м­® ­ҐЁ§ўҐбв­ле $a_j$, $j=0,\dots,n$, Ё¬ҐҐв в Є®Ґ аҐиҐ­ЁҐ
$a_j$, $j=0,\dots,n$, ¤«п Є®в®а®Ј® е®вп Ўл ®¤Ё­ Ё§ $a_j$ ­Ґ а ўҐ­
­г«о. ЏаЁ н⮬ Є®нддЁжЁҐ­в $a_0$ ­Ґ ¬®¦Ґв а ў­пвмбп ­г«о (в.Є.
Ё­ зҐ бЁб⥬  $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$ ®Є § « бм Ўл «Ё­Ґ©­®
§ ўЁбЁ¬®©), в.Ґ.
$$\bar{y}=-\frac{a_1}{a_0}\bar{y}^1-\frac{a_2}{a_0}\bar{y}^2-\dots
-\frac{a_n}{a_0}\bar{y}^n.$$ —Ёб«  $b_i=-\frac{a_i}{a_0}$ ў н⮬
а ўҐ­б⢥ ­ §лў овбп Є®нддЁжЁҐ­в ¬Ё а §«®¦Ґ­Ёп ўҐЄв®а  $\bar{y}$
Ї® Ў §Ёбг $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$ (Ё«Ё Є®®а¤Ё­ в ¬Ё ўҐЄв®а 
$\bar{y}$ ®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб  $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$). Ћ­Ё
®ЇаҐ¤Ґ«повбп ®¤­®§­ з­®, в.Є. Ґб«Ё
$\bar{y}=c_1\bar{y}^1+c_2\bar{y}^2+\dots +c_n\bar{y}^n$ ¤«п ҐйҐ
®¤­®Ј® ­ Ў®а  зЁбҐ«, в®
$$\bar{0}=(c_1-b_1)\bar{y}^1+(c_2-b_2)\bar{y}^2+\dots
+(c_n-b_n)\bar{y}^n$$ Ё, §­ зЁв, $c_1=b_1$, $c_2=b_2$,\dots,
$c_n=b_n$ Ё§-§  «Ё­Ґ©­®© ­Ґ§ ўЁбЁ¬®бвЁ бЁб⥬л
$\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$. ЌҐваг¤­® Ї®­пвм, зв® ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­­лҐ а ­миҐ
Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $\bar{y}$ ў ¤Ґ©б⢨⥫쭮бвЁ пў«повбп
Є®®а¤Ё­ в ¬Ё ўҐЄв®а  $\bar{y}$ ®в­®бЁвҐ«м­® бв ­¤ ав­®Ј® Ў §Ёб 
$\{\bar{e}^j\}_{j=1}^n$.

Џгбвм $A$ -- ¬ ва ж  а §¬Ґа  $n\times n$. Ћв®Ўа ¦Ґ­ЁҐ,
б®Ї®бв ў«по饥 Є ¦¤®¬г ўҐЄв®аг $\bar{x}\in\RR^n$ ўҐЄв®а
$A(\bar{x})=A\bar{x}=\in\RR^n$ ­ §лў Ґвбп «Ё­Ґ©­л¬ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ¬ Ё§
$\RR^n$ ў $\RR^n$. …б«Ё ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $A$ ­Ґ а ўҐ­ ­г«о, в®
в Є®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ ­ §лў о⠯८Ўа §®ў ­ЁҐ¬ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$.
Љ Є б«Ґ¤гҐв Ё§ ®ЇаҐ¤Ґ«Ґ­Ёп «Ё­Ґ©­лҐ ®в®Ўа ¦Ґ­Ёп ®Ў« ¤ ов б«Ґ¤гойЁ¬
(е а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ¬) бў®©бвў®¬:
$$A(\bar{x}+\bar{y})=A(\bar{x})+A(\bar{y}),\quad
A(\alpha\bar{x})=\alpha A(\bar{x}),\quad \bar{x},\bar{y}\in\RR^n,
\alpha\in\RR.$$ Џа®ўҐаЁ¬, зв® ЇаЁ «Ё­Ґ©­ле ЇаҐ®Ўа §®ў ­Ёпе $A$
«оЎ®© Ў §Ёб Їа®бва ­бвў  $\RR^n$ ЇҐаҐе®¤Ёв ў Ў §Ёб: Їгбвм ўҐЄв®а 
$\{\bar{x}^j\}_{j=1}^n\subset\RR^n$ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л. Ќг¦­®
¤®Є § вм, зв® ўҐЄв®а  $\{A(\bar{x}^j)\}_{j=1}^n\subset\RR^n$ в Є¦Ґ
«Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л.\\ $\lhd$: Џ® ⥮६Ґ ® а ­ЈҐ ¬ ваЁжл
®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $X$, бв®«Ўж ¬Ё Є®в®а®© пў«повбп
ўҐЄв®а-бв®«Ўжл $\bar{x}^j$, ­Ґ а ўҐ­ ­г«о ($|X|\ne 0$). Џ® Їа ўЁ«г
г¬­®¦Ґ­Ёп ¬ ваЁж бв®«Ўж ¬Ё ¬ ваЁжл $A\cdot X$ пў«повбп
ўҐЄв®а-бв®«Ўжл $A(\bar{x}^j)$. Џ®н⮬г, ®Їпвм ¦Ґ Ї® ⥮६Ґ ®
а ­ЈҐ ¬ ваЁжл, ¤«п ¤®Є § вҐ«мбвў  в®Ј®, зв® ўҐЄв®а 
$\{A(\bar{x}^j)\}_{j=1}^n$ «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л ¤®бв в®з­® Їа®ўҐаЁвм
г⢥তҐ­ЁҐ: $|A\cdot X|\ne 0$. €§ бў®©бвў ®ЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«Ґ© ¬ ваЁж
б«Ґ¤гҐв, зв® $|A\cdot X|=|A|\,|X|\ne 0$, в.Є. $|A|\ne 0$ ($A$ --
«Ё­Ґ©­®Ґ ЇаҐ®Ўа §®ў ­ЁҐ). $\rhd$

Ћв¬ҐвЁ¬ ҐйҐ а §, зв® а бᬮв७­®Ґ «Ё­Ґ©­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ $A:\RR^n
\to\RR^n$, б®Ї®бв ў«пҐв Є ¦¤®¬г ўҐЄв®а-бв®«Ўжг $\bar{x}$
ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж $A\cdot\bar{x}$. ЏаЁ н⮬ Ё ўҐЄв®а $\bar{x}$ Ё ҐЈ®
®Ўа § $A\cdot\bar{x}$ а бб¬ ваЁў овбп ў бв ­¤ ав­®¬ Ў §ЁбҐ,   б ¬®
®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ, Ї® бгвЁ, Є®®а¤Ё­ в ¬ ўҐЄв®а  $\bar{x}$ ў бв ­¤ ав­®¬
Ў §ЁбҐ б®Ї®бв ў«пҐв Є®®а¤Ё­ вл ®Ўа §  $A\cdot\bar{x}$ ®Їпвм ¦Ґ ў
бв ­¤ ав­®¬ Ў §ЁбҐ. ‡ ¤ ¤Ё¬бп ў®Їа®б®¬, Є Є Ё§¬Ґ­повбп Є®®а¤Ё­ вл
ўҐЄв®а  $\bar{x}$ ў Їа®Ё§ў®«м­®¬ Ў §ЁбҐ ЇаЁ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁЁ $A$?

Џгбвм $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$ -- Їа®Ё§ў®«м­л© Ў §Ёб ў $\RR^n$,
$\{\bar{e}^j\}_{j=1}^n$ -- бв ­¤ ав­л© Ў §Ёб ў $\RR^n$, $Y$ --
¬ ваЁж , бв®«Ўж ¬Ё Є®в®а®© пў«повбп ўҐЄв®а-бв®«Ўжл
$\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$. Љ Є 㦥 ®в¬Ґз «®бм ўлиҐ $|Y|\ne 0$ Ё,
§­ зЁв, $$Y\cdot Y^{-1}=E\quad\Rightarrow\quad
\bar{x}=E\cdot\bar{x}= Y\cdot Y^{-1}\cdot \bar{x}=Y\cdot \bar{b}=
b_1\bar{y}^1+b_2\bar{y}^2+\dots +b_n\bar{y}^n,$$ Ј¤Ґ $Y^{-1}$ --
®Ўа в­ п Є $Y$ ¬ ваЁж , $E$ -- Ґ¤Ё­Ёз­ п ¬ ваЁж ,
$\bar{b}=Y^{-1}\cdot \bar{x}$, $\{b_1,b_2,\dots, b_n\}$ --
Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $\bar{b}$ ®в­®бЁвҐ«м­® бв ­¤ ав­®Ј® Ў §Ёб .
Џ®«г祭­®Ґ а ўҐ­бвў® $\bar{x}=b_1\bar{y}^1+b_2\bar{y}^2+\dots
+b_n\bar{y}^n$ Ї®Є §лў Ґв, зв® Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $\bar{b}$
®в­®бЁвҐ«м­® бв ­¤ ав­®Ј® Ў §Ёб  пў«повбп в Є¦Ґ Ё Є®®а¤Ё­ в ¬Ё
ўҐЄв®а  $\bar{x}$ ®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб  $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$.
‚®бЇ®«м§гҐ¬бп нвЁ¬ Їа ўЁ«®¬ ¤«п ®вўҐв  ­  Ї®бв ў«Ґ­­л© ўлиҐ
ў®Їа®б: Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $Y^{-1}\cdot A\bar{x}$ ®в­®бЁвҐ«м­®
бв ­¤ ав­®Ј® Ў §Ёб  б®ўЇ ¤ ов б Є®®а¤Ё­ в ¬Ё ўҐЄв®а  $A\bar{x}$
®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб  $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$. Ќ® ўҐЄв®а $\bar{x}$
¬л в Є¦Ґ ¤®«¦­л § ¤ вм ­Ґ бв ­¤ ав­л¬Ё Є®®а¤Ё­ в ¬Ё,  
Є®®а¤Ё­ в ¬Ё ў Ў §ЁбҐ $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$: $$Y^{-1}\cdot
A\bar{x}=Y^{-1}\cdot A\cdot Y\cdot Y^{-1}\cdot\bar{x}.$$ ’ ЄЁ¬
®Ўа §®¬, г¬­®¦Ґ­Ёо ўҐЄв®а  $\bar{x}$ ­  ¬ ваЁжг $A$ ў бв ­¤ ав­®¬
Ў §ЁбҐ ᮮ⢥вбвўгҐв г¬­®¦Ґ­ЁҐ ўҐЄв®а  Ё§ Є®®а¤Ё­ в $\bar{x}$
®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб  $\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$ ­  ¬ ваЁжг
$Y^{-1}\cdot A\cdot Y$. ђҐ§г«мв в г¬­®¦Ґ­Ёп ЇаҐ¤бв ў«пҐв Ё§ ᥡп
ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж, Є®®а¤Ё­ вл Є®в®а®Ј® ­ ¤® ў®бЇаЁ­Ё¬ вм Є Є
Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а  $A\bar{x}$ ®в­®бЁвҐ«м­® Ў §Ёб 
$\{\bar{y}^j\}_{j=1}^n$. €­л¬Ё б«®ў ¬Ё, ў «оЎ®¬ Ў §ЁбҐ ®ЇҐа в®а
$A$ б«Ґ¤гойЁ¬ ®Ўа §®¬ ¤Ґ©бвўгҐв ­  Є®®а¤Ё­ вл ўҐЄв®а®ў
®в­®бЁвҐ«м­® нв®Ј® Ў §Ёб : ®­ ўҐЄв®а-бв®«ЎҐж, б®бв ў«Ґ­­л© Ё§ нвЁе
Є®®а¤Ё­ в, г¬­®¦ Ґв б«Ґў  ­  ¬ ваЁжг $Y^{-1}\cdot A\cdot Y$. „«п
бв ­¤ ав­®Ј® Ў §Ёб , ®зҐўЁ¤­®, $Y=E$.

Џгбвм $A$ «Ё­Ґ©­®Ґ ®в®Ўа ¦Ґ­ЁҐ Їа®бва ­бвў  $\RR^n$ ў ᥡп. ‚ҐЄв®а
$\bar{x}\in\RR^n$, $\bar{x}\neq\bar{0}$ ­ §лў ов б®Ўб⢥­­л¬
ўҐЄв®а®¬ ®ЇҐа в®а  $A$, Ґб«Ё $A(\bar{x})=\lambda\bar{x}$, ¤«п
­ҐЄ®в®а®Ј® $\lambda\in\RR$. —Ёб«® $\lambda$ ­ §лў ов б®Ўб⢥­­л¬
§­ зҐ­ЁҐ¬ ®ЇҐа в®а  $A$.

\noindent ЋЇаҐ¤Ґ«Ґ­ЁҐ. ЋЇаҐ¤Ґ«ЁвҐ«м ¬ ваЁжл $(A-t E)$ ­ §лў ов
е а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ¬ ¬­®Ј®з«Ґ­®¬ ®ЇҐа в®а  $A$.

\noindent ’Ґ®аҐ¬ .  ) • а ЄвҐаЁбвЁзҐбЄЁ© ¬­®Ј®з«Ґ­ $P(t)$
®ЇҐа в®а  $A$ ­Ґ § ўЁбЁв ®в ўлЎ®а  Ў §Ёб , ў Є®в®а®¬ ЇаҐ¤бв ў«Ґ­ 
ҐЈ® ¬ ваЁж . Ў) ‹оЎ®Ґ б®Ўб⢥­­®Ґ §­ зҐ­ЁҐ ®ЇҐа в®а  $A$ пў«пҐвбп
Є®а­Ґ¬ $P(t)$ Ё ®Ўа в­® «оЎ®© Є®аҐ­м  $P(t)$ пў«пҐвбп б®Ўб⢥­­л¬
§­ зҐ­ЁҐ¬ ®ЇҐа в®а  $A$.

\noindent $\lhd:$ Љ®а®вЄ® ¤®Є § вҐ«мбвў®  ) пў«пҐвбп б«Ґ¤бвўЁҐ¬
в Є®© ўлЄ« ¤ЄЁ:
$$|Y^{-1}AY-tE|=|Y^{-1}(A-tE)Y|=|Y^{-1}||(A-tE)||Y|=|(A-tE)|.$$ Ў)
Ґб«Ё $\lambda$ --- Є®аҐ­м $P(t)$, в® Ї® ⥮६Ґ ® а ­ЈҐ ¬ ваЁжл
«Ё­Ґ©­ п бЁб⥬  $n$ га ў­Ґ­Ё© $(A-\lambda E)\bar{x}=\bar{0}$
®в­®бЁвҐ«м­® $n$ ­ҐЁ§ўҐбв­ле Є®®а¤Ё­ в ўҐЄв®а  $\bar{x}$ Ё¬ҐҐв
­Ґ­г«Ґў®Ґ аҐиҐ­ЁҐ. ’®Ј¤  нв®в ­Ґ­г«Ґў®© ўҐЄв®а $\bar{x}$ Ё Ґбвм
б®Ўб⢥­­л© ўҐЄв®а, ᮮ⢥вбвўгойЁ© б®Ўб⢥­­®¬г зЁб«г $\lambda$.
ЋЎа в­®: $A(\bar{x})=\lambda\bar{x}\Rightarrow$ $(A-\lambda
E)\bar{x}=\bar{0}\Rightarrow$ $|A-\lambda E|=0$. $\rhd$

\noindent ‹Ґ¬¬ . …б«Ё $\bar{x}$, $\bar{y}$ -- б®Ўб⢥­­лҐ ўҐЄв®а 
®ЇҐа в®а  $A$, ᮮ⢥вбвўгойЁҐ ®¤­®¬г б®Ўб⢥­­®¬г §­ зҐ­Ёо
$\lambda$, $c\in\RR$, в® $\bar{x}+c\,\bar{y}$ -- в Є¦Ґ б®Ўб⢥­­л©
ўҐЄв®а ®ЇҐа в®а  $A$, ᮮ⢥вбвўгойЁ© б®Ўб⢥­­®¬г §­ зҐ­Ёо
$\lambda$.

\noindent $\lhd:$
$A(\bar{x}+c\,\bar{y})=A(\bar{x})+c\,A(\bar{y})=\lambda \bar{x}+
c\,\lambda\bar{y}=\lambda(\bar{x}+ c\,\bar{y})$. $\rhd$

\noindent ‹Ґ¬¬ . ‘®Ўб⢥­­лҐ ўҐЄв®а  ®ЇҐа в®а  $A$,
ᮮ⢥вбвўгойЁҐ а §­л¬ б®Ўб⢥­­л¬ §­ зҐ­Ёп¬, «Ё­Ґ©­® ­Ґ§ ўЁбЁ¬л.

\noindent $\lhd:$ ЏаҐ¤Ї®«®¦Ё¬ $A(\bar{x}_1)=\lambda_1\bar{x}_1$,
$A(\bar{x}_2)=\lambda_2\bar{x}_2$, $A(\bar{x}_3)=
\lambda_3\bar{x}_3$,  ўбҐ $\lambda_i$ --- а §«Ёз­лҐ зЁб« ,
$\bar{x}_i\ne\bar{0}$, $i=1,2,3,$
$$c_1\bar{x}_1+c_2\bar{x}_2+c_3\bar{x}_3=\bar{0}$$ Ё, ­ ЇаЁ¬Ґа,
$c_1\neq 0$. ’®Ј¤ , ЇаЁ¬Ґ­Ёў ®ЇҐа в®а $A$ Є ®ЎҐЁ¬ з бвп¬ нв®Ј®
а ўҐ­бвў , Ї®«гзЁ¬ $$c_1\lambda_1\bar{x}_1+c_2\lambda_2\bar{x}_2+
c_3\lambda_3\bar{x}_3=\bar{0},\quad
c_1(\lambda_1-\lambda_3)\bar{x}_1+c_2(\lambda_2-\lambda_3)\bar{x}_2=
\bar{0}.$$ ’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, ўҐЄв®а  $\bar{x}_1$, $\bar{x}_2$
Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л --- Їа®вЁў®аҐзЁҐ. ‘«гз © Ў®«м襣® зЁб«  ўҐЄв®а®ў
а бб¬ ваЁў Ґвбп  ­ «®ЈЁз­®. $\rhd$

’ ЄЁ¬ ®Ўа §®¬, Ґб«Ё ®ЇҐа в®а $A$, § ¤ ­­л© ў $n$-¬Ґа­®¬
Їа®бва ­б⢥, Ё¬ҐҐв $n$ а §«Ёз­ле б®Ўб⢥­­ле §­ зҐ­Ё©, в® ®­
Ё¬ҐҐв Ў §Ёб, б®бв®пйЁ© Ё§ $n$ б®Ўб⢥­­ле ўҐЄв®а®ў. Џ®бЄ®«мЄг ў
«оЎ®¬ Ў §ЁбҐ ¤Ґ©бвўЁҐ ®ЇҐа в®а  $A$ б®бв®Ёв ў г¬­®¦Ґ­ЁЁ ўҐЄв®а 
Є®®а¤Ё­ в (®в­®бЁвҐ«м­® нв®Ј® Ў §Ёб ) ­  ­ҐЄ®в®аго ¬ ваЁжг, в® ў
Ў §ЁбҐ Ё§ б®Ўб⢥­­ле ўҐЄв®а®ў нв  ¬ ваЁж  ®Ўп§ вҐ«м­® ¤®«¦­ 
Ё¬Ґвм ¤Ё Ј®­ «м­л© ўЁ¤ (в.Ґ. ®Ўа §®¬ ЇҐаў®Ј® Ў §Ёб­®Ј® ўҐЄв®а 
¤®«¦Ґ­ Ўлвм Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л© Ґ¬г ўҐЄв®а, ®Ўа §®¬ ўв®а®Ј® Ў §Ёб­®Ј®
ўҐЄв®а  ®Їпвм Ўг¤Ґв Їа®Ї®ажЁ®­ «м­л© Ґ¬г ўҐЄв®а Ё в.¤.).