Билет 1

Множества, операции над ними, диаграммы Венна

Множества - совокупность объектов, обладающих одним общим свойством, и различающими между собой.

Элементы множества:

а А

Множеством А называется подмножество множества В, если для любого элемента а А , также и а В. Обозначается А В.

Два множества А и В равны, если состоят из одних и тех же элементов, то есть 2-а множества равны, если каждая из них является подмножеством другого, а именно:

А В, В А  А=В

Множества бывают бесконечными и конечными……….

Способы задания множеств:

1)Перечисление. А={a;b;c} A={2;5;7}

2)Описание общего свойства:

A={x | P(x),k(x)};

Пустое множество не содержит ни одного элемента!!!

Пустое множество является подмножеством любого множества!!!

Ø А; А А;

Множества всех подмножеств множества А называется булианом и обозначается ρ(А)

Например: А={a;b;c}

Число подмножества булианов =

n – число элементов множества

ρ(А) – {{a};{b};{c};{a;b};{a;c};{b;c}}

Операции с множествами.

1)Объединение множеств.

Объединение множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат либо множеству А, либо множеству В.

2)Пересечение множеств.

Пересечение двух множеств А и В, называют множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А так и множеству В.

3)Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат подмножеству А и не принадлежат множеству В.

4)Дополнение множеств.

Универсальным множеством называется множество всех элементов определенного типа (все множества являются подмножествами универсального множества).

- Универсум

Дополнением множества А, называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые не принадлежат А.

Билет 2

Понятие числового поля, аксиомы поля

Множества натуральных чисел N={0;1;2;3;4;5;6;7;8….;n,…}

Множества целых чисел Z={ }

Множества рациональных чисел

I – Множество иррациональных чисел (бесконечная, непериодическая дробь).

Множество действительных чисел R=Q U I

Всякая система чисел, содержащая сумму, разность и произведение 2-х своих чисел, называется кольцом

Z; Q; R; C – числовые кольца

N – Не является кольцом

Числовое кольцо называется числовым полем, если оно содержит честное 2-х своих чисел (делитель не равен нулю).

Q; R; C – числовые поля

I – не является числовым полем

Числовое поле <P+;*> P – носитель числового поля

Существуют a; b; c принадлежащие P

Выполняется 9-ть аксиом:

1) a+b=b+a коммутативность

2) (a+b)+c=a+(b+c) ассоциативность

3)Пусть существует 0 принадлежащий P, для любого a принадлежащего P => а+0=а (существование нулевого элемента).

4)Для любого а принадлежащего Р, существует (-а) принадлежащее Р => а+(-а)=0 (существование противоположного элемента).

5) a*b=b*a коммутативность умножения

6) (a*b)*c=a*(b*c) ассоциативность умножения

7) существует 1 принадлежащий P, для любого 0 принадлежащего P => а*1=1*а=а (существование единичного элемента).

8)

9) (a+b)*c=a*c+b*c дистрибутивность

Билет 3

Поле комплексных чисел, комплексные числа в алгебраической, тригонометрической, показательной формах.

i – мнимая единица

Комплексными называются числа вида z=x+iy

x=R z - действительная часть

iy=Im z – мнимая часть действительных чисел

а = 5

a=5+0i

Между комплексными числами и точками плоскости существует взаимно однозначное соответствие.

z=x+iy алгебраическая форма комплексных чисел

z=x-iy Сопряженное комплексное число

Степени мнимой единицы.

Пример.

Тригонометрическая форма

z=x+y

- Тригонометрическая форма

Показательная форма

Билет 4

Теорема Безу, основная теорема алгебры

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена на двучлен равен

Доказательство:

Следствие:

Для того, чтобы Pn(z) делился на без остатка, необходимо и достаточно чтобы было корнем многочлена.

Основная теорема алгебры (Гауса):

Всякий многочлен Pn(z) степени не меньше 1 (n>=1) имеет по крайней мере 1-н корень

Доказательство:

Билет 5

Векторы, линейные операции над ними.

Вектор – направленный отрезок, у которого есть начало и конец, длина и направление.

- нулевой вектор. = 0 – направление производное.

1)Векторы a и b коллинеарные, если они лежат на 1-й прямой или на параллельных прямых.

2)Коллинеар – сонаправленные или противоположно направленные векторы.

3)Векторы равны, если их можно совместить параллельным переносом, это значит,

что любой вектор можно считать исходящим из точку О – начало координат.

4)Векторы называются комплонарными, если они лежат в одной плоскости или параллельных плоскостях.

Линейные операции с векторами.

1)Сложение:

Правило треугольника:

Правило параллелограмма:

Свойства:

2)Разность:

Это операция, противоположная сложению векторов

3)Произведение вектора а на число λ принадлежащее R.

Свойства:

Билет 8

Векторное произведение, его геометрический смысл, критерий коллинеарности векторов.

Ориентация векторов.

Упорядоченная тройка не комплонарных векторов a,b,c называются правой, если при приведению их к общему началу, при вращении от a к b «правый винт» движется в то полупространство, куда направлен вектор с. Если же правый винт движется в полупространство, противоположное тому, куда направлен вектор с, то тройка векторов a,b,c называется левой.

а,b,c – правая тройка векторов

a,b,c – левая тройка векторов.

Обозначения:

A u b = [a;b]

Свойства векторного произведения векторов

Рисунок:

Геометрический смысл векторного произведения векторов:

Тройки векторов b,c,a и c,a,b , получаются из исходной тройки a,b,c при помощи круговых перестановок и имеют с ней одинаковую ориентацию. А тройки b,a,c и a,c,b c,b,a получены другими перестановками и имеют ориентацию противоположную ориентации тройки a,b,c

Векторное произведение 2-х векторов a и b называется вектор с:

Билет 6

Линейная зависимость и независимость векторов, базис на плоскости и в пространстве, декартов базис.

Система векторов называется линейно зависимой, если найдутся числа , не все равные нулю одновременно и такие, что

Система векторов , называется линейно независимой, если тогда и только тогда, когда Теорема: Для того чтобы система векторов была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один вектор системы можно представить, как линейную комбинацию остальных.

Доказательство:

1)Пусть линейно зависимая система, тогда существует и и среди λ есть λ не равная нулю.

2)Обратное утверждение:

Тогда по определению - линейно зависимая.

Замечание: Любая линейно независимая система не содержит нулевого вектора.

Базис в пространстве (ЛВП)

Элементы называются базисом линейного векторного пространства (ЛВП), если - максимальная по включению линейно независимая система векторов L.

(Максимальной по включению – система линейно независимая, но добавление любого вектора делает систему линейно зависимой).

Теорема: Система векторов образует базис ЛВП Ln, тогда и только тогда, когда любой вектор принадлежащий Ln можно представить как линейную камбинацию векторов базиса и это разложение единственно.

- координаты в базисе

Теорема:

- базис 

λ – координаты вектора в заданном базисе.

Базис в плоскости

Теорема: Любые 3-и вектора на плоскости линейно зависимые.

Доказательство:

Итак:

1)Любые 3 вектора линейно зависимы

2)2 вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Если вектор а не параллелен вектору b, то a и b линейно независимы

Максимальное количество линейно независимых векторов на плоскости = 2.

Вывод:

Любые два вектора принадлежащие V2 и не параллельные, образуют базис на плоскости.

Декартов базис

i; j – орты

Теорема: Разложение вектора по базису единственно.

Доказательство: (от противного)

Билет 7

Скалярное произведение векторов, проекция одного вектора на другой, критерий ортогональности векторов.

Скалярное произведение называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначение:

Свойства векторного произведения:

Проекция одного вектора на другой:

Скалярное произведение векторов в декартовой системе координат:

Билет 10

Различные уравнения плоскости в пространстве, угол между плоскостями, расстояние от точки до плоскости.

Угол между плоскостями – угол между их нормалями.

Уравнения плоскости в пространстве:

Рисунок

Билет 9

Смешанное произведение, его геометрический смысл, критерий компланарности векторов.

Смешанное произведение 3-х векторов:

Условие комплонарности:

Доказательство:

Свойства смешанного произведения:

1)Если abc>0 , то тройка векторов правая

Если abc<0 , то тройка векторов левая

2) abc=bca=cab

-bac=abc=-cba=-acb

3)(λa)bc=λ(abc)

4)(a1+a2)bc=a1bc+a2bc

Площадь параллелепипеда = |abc|

Площадь пирамиды = 1/6 |abc|

В прямоугольной декартовой системе координат:

Геометрический смысл:

Модуль смешанного произведения abc равен объему параллелепипеда, построенного на векторах a,b,c а знак отвечает за ориентацию тройки .

Билет 11

Различные уравнения прямой в пространстве, переход от общего уравнения к каноническому, расстояние от точки до прямой.

Линии в пространстве могут быть заданы 2-я способами:

1)Линия – пересечение 2-х поверхностей:

2)Линия - траектория движущейся точки:

x=x(t)

y=y(t) t-параметр

z=z(t)

а)

Условие 1:

Для первого уравнения δ1 и для второго δ2

Сумма уравнений 1 представляет общее уравнение прямой в V3 тогда и только тогда, когда выполняется условие 2

б)

Канонические уравнения прямой:

Замечание:

Если в формуле (2) какой-либо знаменатель = 0, то и соответственно числитель тоже нужно прировнять к нулю.

в)

Уравнения прямых проходящих через 2-е точки:

Расстояние от точки до прямой:

Билет 12

Различные уравнения прямой на плоскости, геометрический смысл параметров.

Уравнения:

Геометрический смысл параметров:

Билет 13

Угол между двумя прямыми, условия параллельности и перпендикулярности, расстояние от точки до прямой(на плоскости и в пространстве).

Угол между 2-я прямыми - угол, между их направляющими векторами

Условия || и перпендикулярности 2-х прямых решаются из условий || и перпендикулярности соответственных векторов n и S:

Расстояние от точки до прямой!

В пространстве:

На плоскости:

Билет 14

Эллипс.

Эллипс – множество точек плоскости, сумма расстояний, которых до 2-х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2 а.

Введем ДПСК

Так, что ось Ох совпадает с фокальной осью F1F2, ось Оу – через середину F1F2.

a>c

a,b-полуоси эллипса

Та ось, на которой находятся фокусы, называется большой

В доказанном случае а-большая

b-малая

A1A2-большая ось

B1B2-малая ось

|A1A2|=2a

|B1B2|=2b

|F1F2|=2c

a^2=b^2+c^2

Если F1=F2(c=0), то эллипс является окружностью.

Билет 15

Гипербола.

Гипербола – это множество точек плоскости, модуль разности расстояния, которых до 2-х заданных точек (фокусов) есть величина постоянная, равная 2а.

Гипербола имеет две асимптоты

Если угол между асимптотами = п/2 , то это равносторонняя гипербола.

Если при этом асимптоты принять за оси ПДСК, то получим гиперболу показанную ниже:

y=c/x

Эксцентриситет

Чем меньше эксцентриситет, тем больше вытянут вспомогательный прямоугольник вдоль фронтальной оси.

Билет 16

Парабола.

Парабола – множество точек плоскости, равноудаленных от дальней точки (фокуса) и данной прямой (директриса)

Выберем ПДСК

Проведем Ох перпендикулярно директрисе, через фокус F.

Оу через середину расстояния между F и директрисой.

По определению p=d

|KM|=|FM|

Билет 19

Матрицы, операции над ними, обратная матрица. Определители и их свойства.

Матрица – это прямоугольная таблица чисел, заключенная в круглых скобках.

ОПЕРАЦИИ:

Обратная матрица:

Матрица называется обратной матрицей А, если = = Е

Теорема:

Для того чтобы матрица А, имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невыраженной

Матрица называется невыраженной, определитель А не равен нулю и выражен, если определитель А = 0

Необходимо!!!

Достаточно!!!

Определители:

В каждой матрице ставится в соответствии число, называемое определителем.

Определитель – Это число, соответствующее квадратной матрице.

Обозначения:

Свойства определителей:

2)Если у матрицы поменять местами 2-е строки(2-а столбца), то ее определитель сменит знак:

Следствие 1: Если у матрицы 2-е строки (столбца) одинаковые, то определитель этой матрицы равен нулю.

3)Общий множитель элементов строки (столбца) можно выносить за знак определителя:

Следствие 2: Если у матрицы 2-е строки(столбца) пропорциональны, то определитель этой матрицы равен нулю.

Следствие 3: Если у матрицы есть нулевая строка(столбец), то определитель этой матрицы равен нулю.

4)

5)Определитель матрицы не изменяется, если к элементам одной строки(столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки(столбца), умноженные на некоторое одно и тоже число:

Сумма произведений элементов какой-нибудь строки(столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки(столбца) равна нулю.

Билет 20

Элементарные преобразования, ранг матрицы, теорема Кронекера-Копелли.

Элементарные преобразования матриц:

1)Перестановка строк.

2)Умножение какой-либо строки на число, отличное от нуля.

3)Прибавление к одной строке другой строки, умноженное на какое-либо число.

4)Те же операции над столбцами.

И в результате всех этих преобразований, получаем матрицу, эквивалентную данной.

Ранг матрицы

Пусть в матрице А размерности m x n выбраны k строк и k столбцов, k<=m и n. Определитель матрицы, элементы которой стоят на пересечении строк и столбцов называется минором порядка k матрицы А.

Пусть все миноры матрицы А порядков, больших r, равны нулю, и при этом существует отличный от нуля минор порядка r. Число r называется рангом матрицы А. Обозначается: rangA(r,rgA) = r. Другими словами рангом матрицы А называется максимальный порядок отличного от нуля минора матрицы А. Этот минор называется базисным минором.

Способ вычисления ранга:

Привести матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований.

Тогда число ненулевых строк является рангом:

Пример:

Теорема Кронекера-Копелли.

Для того чтобы система

Была совместна, необходимо и достаточно, чтобы

Пусть система совместна и - ранг системы, n-число неизвестных, m-число уравнений.

1)Пусть r<m. Будем считать без ограничения общности, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы А, то есть первые r строк и первые r столбцов матрицы линейно независимы. Тогда последние m-r уравнений можно отбросить, так как они линейно выражаются через первые r. Таким образом переходим к системе следующего вида, в котором число уравнений совпадает с рангом системы:

2)Если r=n, то система имеет единственное решение, которое может быть найдено, например, с помощью формул Крамера.

3)Пусть r<n (считаем, что базисный минор находится в левом верхнем углу матрицы А).

Назовем неизвестные

Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получаем определенную систему относительно базисных переменных. Принимая свободные неизвестные за параметры, можно выразить базисные переменные через свободные, то есть получить общее решение системы: