Билет 21

Метод Гаусса - универсальный способ решения линейных уравнений. Определяется принадлежность тому или иному классу (совместность, определённость). Состоит из трёх этапов1)(подготовительный)Приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. 2)В ходе исследования требуется выяснить :а)совместна ли система(равен ли ранг матрицы системы рангу расширенной матрицы.), б)чему равен ранг, в)какие переменные выбрать за базисные, кол-во переменных =r, но не любые могут быть базисными, а только те у которых соответствующие им столбцы ступенчатого вида не входят в базисный минор этой матрицы Рассмотрим выступающие части «ступенек». Теперь в каждой такой части выберем нулевой элемент, который с гарантией, что он существует. Эти столбцы и соответствуют переменным, которые мы выберем за базисные. Остальные переменные свободные. 3) «обратный ход». Выражаем все базисные переменные через свободные

Для этого мы должны преобразовать расширенную матрицу системы элементарными преобразованиями строк к такому виду, в котором каждый столбец, соответствующий базисной переменной, содержит только один ненулевой элемент (который мы вы­деляли на предыдущем этапе), причём этот элемент равен 1. Это преоб­разование соответствует исключению базисных переменных из "верхних уравнений". Третий этап носит название "обратный ход", потому что тре­буемые преобразования удобно проводить "снизу вверх": сначала исклю­чить последнюю базисную переменную из всех строк, кроме последней ненулевой, потом перейти к следующей снизу, и т.д. Проведя все необходимые преобразования, запишем систему линейных уравнений, соот­ветствующую полученной .расширенной матрице. Заметим, что эта си­стема эквивалентна' исходной, и в каждое уравнение входит ровно одна базисная переменная, причём с коэффициентом 1, что очень облегчает выражение базисных переменных через свободные.

Заметим, что последний этап можно также проводить и не в матрич­ном виде, а непосредственно преобразуя систему линейных уравнений, соответствующую ступенчатому виду расширенной матрицы системы. Обратите внимание, что в последнее уравнение этой системы входит только одна базисная переменная и её легко выразить через свободные. Это выражение подставим в предпоследнее уравнение и из него выразим следующую базисную переменную, и так далее, снизу вверх. В результа­те этих выражений также получим требуемое общее решение системы.

Билет 22

Понятие линейного и векторного пространства, критерий подпространства

Линейные пространства!

Пусть L-некоторое множество, элементы которого мы будем называть «векторами», |Р – некоторое числовое поле. Пусть также выполнены следующие условия:

1)В L определена операция «сложения» элементов, то есть для любого х,у принадлежащих L становится в соответствие элемент z принадлежащий L. Обозначают .Эта операция обладает следующими свойствами:

2)в L определена операция «умножения» элемента на число из |Р, то есть для любого λ принадлежащего |Р, для любого х принадлежащего L ставится в соответствии элемент y принадлежащий L. Обозначается . Это операция обладает свойствами

3)эти операции удовлетворяют законам дистрибутивности:

\

Все эти свойства называются аксиомами пространства.

Пространство L называется действительным, если |P=|R и операция умножения вектора на число определена только для действительных чисел, и комплексным, если |P=C и эта операция определена для комплексных чисел.

Подмножество V линейного пространства L называется линейным подпространством, если V само является линейным подпространством относительно операций, определенных на L.

Критерий подпространства

Векторное пространство

Множество геометрических векторов в совокупности с введенными в предыдущем разделе линейными операциями над ними будем называть пространством геометрических векторов.

Три пространства векторов:

Множество L называется линейным векторным пространством над полем скаляров К если для любых элементов

Элементами ЛВП могут быть объекты любой природы, их принято называть векторами.

Элементами числового поля являются скалярные числа.

Билет№24

Однородные системы линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Система или

называется однородной. Такая система всегда совместна, поскольку имеет тривиальное решение . Для существования нетривиального решения необходимо и достаточно, чтобы система была неопределенна, т.е. , где ранг матрицы системы. В частном случае, когда m=n, критерием нетривиальной совместности системы служит условие det А=0.

Пусть . Система имеет r базисных решений и (n-r) свободных переменных.

Фундаментальной системой решений (ФСР) однородной системы называется набор из n-r линейно независимых решений этой системы. ФСР составляет базис пространства решений системы.

Обозначим ФСР системы через Её удобно находить следующим образом. Пусть базисные переменные , а - свободные. Присвоив свободным переменным значения , найдём соответствующие значения базисных переменных и таким образом получим

, подставив вместо свободных переменных значения

получим

, и так далее, . система E линейно независима, и, следовательно, является ФСР. Общее решение системы представляется в виде линейной комбинации ФСР

Рассмотрим на примере:

Найти общее решение системы в виде линейной комбинации ФСР.

Решение: Воспользуемся методом Гаусса и преобразуем матрицу системы

Данной матрице соответствует система

Найдём ФСР

Общее решение однородной системы

Билет №25

Структура общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

Вернёмся теперь к рассмотрению неоднородной системы линейных уравнений . Как связано множество её решений с обозначим общим решением соответствующей однородной системы АХ=0? Обозначим общее решение однородной системы через - ФСР однородной системы. Тогда общее решение неоднородной системы запишется следующим образом:

Где - произвольное частное решение неоднородной системы. Соотношение и называется структурой общего решения неоднородной системы линейных уравнений.

Для того чтобы подчеркнуть эту структуру, общее решение в следующем виде: Векторную запись решения легко получить из

параметрической: пусть решение в параметрическом виде выглядит так: тогда векторная запись общего решения будет такова.