Задача №2, стр 39 (Алгебра, ван дер Варден)

Доказать индукцией по n, что n-1 транспозиций (12),(13),…,(1n) при n>1 порождают симметрическую группу S_n.

Для доказательства нам надобятся следующие свойства перестановок и транспозиций.

Св-во 1. Любая подстановка представима в виде произведения циклов (Алгебра, ван дер Варден, стр.37).

Св-во 2. (1i)(1j)(1i)=(ij)

Св-во3. (1t)…(13)(12)=(12…t)

Доказательство (по индукции). Пусть свойство доказано для t, докажем для t +1.

(1 t+1) (1t)…(13)(12)= (1 t+1){(1t)…(13)(12)}=(1 t+1)(12…t)= (12…t t+1)

Св-во3’. (aw)…(ad)(ac)(ab)=(abcd…w)

Доказательство этого свойства состоит в том, чтобы «заменить» a на 1, b – на 2 и т.д. и воспользоваться свойством 3.

Доказательство (утверждения задачи). Свойства 2 и 3’ гарантируют, что любой цикл представим в виде произведения указанных n-1 транспозиций, а в силу свойства 1 любая подстановка есть произведение циклов и, следовательно, представима в виде произведения транспозиций (12),(13),…,(1n) .

Задача №2, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)

Доказать, что в группе подстановок элемент aba^-1 можно получить так: разложить b в произведение циклов и подействовать на символы в этих циклах подстановкой a. Вычислить aba^-1 для случая a=(2345), b=(12)(345).

Доказательство. Рассмотрим разложение b в произведение циклов, т.е. b = (p_1, …,p_k)(q_1, …,q_m)…(…). И зададим подстановку

d = (p’_{1 ,} …,p’_k)(q’_1, …,q’_m)…(…), где p’_i =a(p_i), q’_i =a(q_i) и тд. Нам надо доказать, что d= aba^-1. Возьмем произвольный элемент p’_i =a(p_i) и применим к нему подстановки d и aba^-1. Получим, что d( p’_i )= p’_i+1

С другой стороны, действуя последовательно, получим:

a^-1 : p’_i =a(p_i) à p_i

b : p_i à p_i+1

a: p_i+1 à a(p_i+1) =p’_i+1,

т.е. aba^-1( p’_i )= p’_i+1 и подстановки d и aba^-1совпадают.

Пример. Вычислить aba^-1 для случая a=(2345), b=(12)(345). Применив утверждение задачи, получим

aba^-1 =(13)(452) =(13)(245).

Задача №3, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)

Доказать, что симметрическая группа S₃ имеет ровно 6 внутренних автоморфизмов. Группа внутренних автоморфизмов изоморфна S₃.

Доказательство. Для произвольной группы G отображение f_g :xà gxg^-1 является автоморфизмом группы G (называемым внутренним) и, в свою очередь, отображение W:GàAutG (где W(g)=f_g ) является гомоморфизмом. Следовательно, группа внутренних автоморфизмов изоморфна G тогда и только тогда, когда Ker(W)={e}, т.е. из gxg^-1 = x для всех x следует, что g=e. Легко убедиться с помощью задачи №2, стр 45, что это так не только для S₃ , но и для любой для S_n . Действительно, пусть g таково, что gxg-1 = x для любой подстановки x из Sn .Возьмем в качестве x=(12…j-1 j+1…n) (j). Из задачи №2, стр 45 следует gxg-1 =( g(1) g(2) g(j-1) g( j+1)… g(n)) (g (j))

и, тем самым, равенство gxg-1 = x возможно только при одинаковом разбиении на циклы перестановок (12…j-1 j+1…n) (j) и (g(1) g(2) g(j-1) g( j+1)… g(n)) (g (j)). Следовательно, g(j)= j.

Так как это верно для любого j, то g - тождественная подстановка, что и требовалось доказать.