Задача № 2, стр 42 (Алгебра, ван дер Варден)

Элементы, обратные к элементам левого смежного класса по произвольной подгруппе, составляют правый смежный класс à индекс подгруппы можно определить и как число правых смежных классов по ней.

Доказательство. Рассмотрим подгруппу H в группе G и пусть gH={gh :h из H} некоторый левый смежный класс по H. Тогда элементы, обратные к элементам из gH, имеют вид (gh) ^-1 =h ^-1g ^-1 Так как h ^-1 также пробегает всю подгруппу H , когда h пробегает H, то { h ^-1g ^-1 : h из H}= { h^’g ^-1 : h’ из H}= Hg ^-1 - правый смежный класс по H, что и требовалось доказать. Тем самым установлено взаимнооднозначное соответствие между левыми и правыми смежными классами, и, в частности, индекс подгруппы можно определить и как число правых смежных классов по ней.

Задача № 6, стр 42 (Алгебра, ван дер Варден)

Если произведение любых двух левых смежных класов группы G по подгруппе H снова является левым смежным классом, то H нормальная подгруппа в G.

Доказательство. Рассмотрим подгруппу H в группе G и два произвольных левых смежных класса g₁ H={g₁ h :h из H} и g₂ H={g₂h :h из H} по H. Тогда их произведение равно {g₁ h’g₂h’’ : h’ и h’’ из H}. Так как по условию задачи это левый смежный класс и элемент

g₁ g₂ ему принадлежит (выбор h’=h’’=е), то это g₁ g₂ H. Следовательно, для любых h’ и h’’ из H существует h из H такой, что g₁ h’g₂h’’= g₁ g₂h à h’g₂h’’= g₂h à h’g₂= g₂h (h’’) ^-1 à

g₂ H = Hg₂, поскольку (h’’) ^-1 пробегает всю подгруппу H, когда h’’ пробегает H , и, кроме того, hH= H. Свойство g₂ H = Hg₂ справедливо для любого g₂ , следовательно, подгруппа H нормальная.

Задача № 10, стр 57 (Алгебра, ван дер Варден)

Целостное кольцо K с конечным числом элементов является полем.

Доказательство. Целостное кольцо – это коммутативное кольцо без делителей нуля. Сопоставим произвольному ненулевому элементу g кольца отображение f_g :xà gx. Заметим, что если gx = gx’ , то g(x - x’)=0, а так как g не равно 0, то (x - x’)=0, тем самым, разные точки под действием такого отображения переходят в разные. В силу конечности K отображение f_g является взаимнооднозначным.

Следовательно, существует x_g такое, что f_g (x_g)=1, т.е. для любого ненулевого элемента g существует обратный элемент x_g так как gx_g=1, что и требовалось доказать.

Следствие. Кольцо Z_p вычетов по модулю простого числа p является полем.