Задача № 4, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)

Симметрическая группа S4 имеет, кроме себя самой и единичной подгруппы, лишь следующие нормальные подгруппы:

а) знакопеременная группа А4; б) четверная группа Клейна B4, состоящая из перестановок:

(1), (12)(34), (13)(24), (14)(23). Эта группа абелева.

Доказательство. Нужно показать, что перечисленные подгруппы являются нормальными и что других нет. Подгруппа Аn является нормальной для любого n как ядро гомоморфизма

Sn({-1,+1}, сопоставляющего перестановке ее четность.

Из задачи № 2, стр 45 следует, что подстановка gxg-1 имеет разбиение на циклы той же длины, что и подстановка x. Так как имеется ровно 3 разбиения четырех элементов на два подмножества (цикла) мощности два, то множество B4 инвариантно относительно действия x( gxg-1 и, следовательно, B4 – нормальная подгруппа (то, что B4 -подгруппа легко проверить непосредственно, а то, что B4 -абелева следует, например, из того, что любая группа из четырех элементов абелева).

Докажем теперь, что других нормальных подгрупп нет. Сначала выясним структуру нормальных подгрупп. Заметим, что из задачи № 2, стр 45 следует, что когда g пробегает всю группу Sn , то подстановка gxg-1 пробегает все подстановки, имеющие разбиение на циклы той же длины, что и подстановка x. Следовательно, подгруппа, чтобы быть нормальной, должна содержать целиком классы перестановок с заданными длинами разбиений на циклы. Таких классов в S4 ровно 5:

Класс C1+1+1+1 , состоящий из e= (1)(2)(3)(4);

Класс C2+2 , состоящий из 3 подстановок вида (ab)(cd) ;

Класс C3+1 , состоящий из 8 подстановок вида (abc)(d) ;

Класс C2+1+1 , состоящий из 6 подстановок вида (ab)(c)(d) ;

Класс C4 , состоящий из 6 подстановок вида (abcd).

При этом только объединение классов C1+1+1+1 и C2+2 (группа Клейна B4 ) и объединение классов C1+1+1+1 и C2+2 и C3+1 (знакопеременная группа А4) являются подгруппами. Действительно, произведения элементов из класса C2+1+1, т.е. транспозиций, дают всю группу подстановок (см. Задача №2, стр 39). Произведение подстановок (1234) x (1423) из класса C4 дает подстановку (1)(243) из класса C3+1, а произведение подстановок (123)(4) x (124)(3) из класса C3+1 дает подстановку (13)(24) из класса C2+2. Тем самым, если нормальная подгруппа содержит класс C4 , то она содержит все четные подстановки (А4=объединение классов C1+1+1+1 и C2+2 и C3+1 ), т.е. как минимум 18 элементов, а порядок подгруппы делит порядок группы, в данном случае 24, что невозможно для собственной подгруппы. Полученное противоречие и завершает доказательство.

Примечание(матрично-геометрическое описание группы Клейна).

Рассмотрим в качестве множества {1,2,3,4}, на котором действуют подстановки, четыре точки на плоскости с координатами +1 и -1 (вершины квадрата). Тогда подстановкам из B4 соответствуют линейные преобразования плоскости, матрицы которых диагональны и элементы диагонали (главной) равны +1 и -1. Отсюда очевидно следует, что эти 4 подстановки образуют группу, так и ее коммутативность.

Задача № 3, стр 48 (Алгебра, ван дер Варден). Факторгруппа S4 / B4 изоморфна S3 .

Доказательство. |S4 |=24, | B4|=4 ( |S4 / B4|=6. Рассмотрим произвольную подстановку g и пусть a ( из множества {1,2,3,4}) таково, что g(a)=4, т.е. g -1(4)=a. Группа B4 действует на множестве {1,2,3,4}транзитивно, т.е. переводит любую точку в любую. Следовательно, в B4 найдется b: b(a)= 4. Рассмотрим теперь подстановку f= gb -1. Для нее точка 4 является неподвижной, так как f(4)= gb -1(4)= g(a)=4. Тем самым, f является подстановкой на трех элементах {1,2,3}. Так как произвольная подстановка g представима в виде g=fb, то факторгруппа , т.е. множество левых смежных классов, представимо в виде f B4 , где f берется из подгруппы F (уже не обязательно нормальной), изоморфной S3 . Теперь воспользуемся тем, что если в некоторой группе G ее смежные классы по нормальной подгруппе B представимы ( и единственным образом) в виде fB, где f берется из подгруппы F, то факторгруппа G / B изоморфна группе F. Для доказательства последнего факта построим гомоморфизм G / B (F, а именно, fB ( f. Так как ядро этого гомоморфизма тривиально (иначе противоречие с единственностью представления смежных классов в виде fB ), то это изоморфизм.

Задача № 5, стр 45 (Алгебра, ван дер Варден)

Если H нормальная подгруппа в группе G и B – «промежуточная подгруппа», то H нормальная подгруппа и в B.

Доказательство. H нормальная подгруппа в группе G означает, что g H g-1 = H для любого g из G. Следовательно, b H b-1 = H для любого b из B , т.е. H нормальная подгруппа в группе B.

Задача № 3, стр 42 (Алгебра, ван дер Варден)

Каждая подгруппа индекса 2 является нормальной. Пример: знакопеременная подгруппа в симметрической группе.

Доказательство. Рассмотрим подгруппу H в группе G. Индекс 2 означает, что имеется ровно два левых смежных ,непересекающихся класса, а именно, H и gH, где g – некоторой элемент группы G, не принадлежащий к H (иначе H=g H ). Таким образом, G= {H} U { gH} Рассмотрим правые смежные классы, а именно, H и H g. Так как g не принадлежит к H, то смежные классы H и Hg не совпадают, следовательно, непересекаются и G равно объединению H и Hg :

G= {H} U { Hg } . Отсюда Hg = gH , и подгруппа H по определению нормальна.