Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

      Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле:

где dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

      Пусть σ во всех точках плоскости S одинакова. Заряд q – положительный. Напряженность во всех точках будет иметь направление, перпендикулярное плоскости S (рис. 2.11).

      Очевидно, что в симметричных, относительно плоскости точках, напряженность будетодинакова по величине и противоположна по направлению.

      Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости (рис. 2.12).

	Рис. 2.11	Рис. 2.12

      Тогда

      Применим теорему Остроградского-Гаусса. Поток Ф_Е через боковую часть поверхности цилиндра равен нулю, т.к. Дляоснования цилиндра

      Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равен:

      Внутри поверхности заключен заряд . Следовательно, из теоремы Остроградского–Гаусса получим:

;

откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

(2.5.1)

      Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Это значит, что на любом расстоянии от плоскости

46. Поле объемного заряженного шара

      Для поля вне шара радиусом R (рис. 2.18) получается тот же результат, что и для пустотелой сферы, т.е. справедлива формула:

.

      Но внутри шара при сферическая поверхность будет содержать в себе заряд, равный

где ρ – объемная плотность заряда, равная: ;    – объем шара. Тогда по теореме Остроградского-Гаусса запишем:

,

т.е. внутри шара

.

(2.5.8)

      Таким образом, внутри шара

                 

Поле заряженного бесконечно длинного цилиндра (нити)

      Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью , где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра (рис. 2.14).

Рис. 2.14

      Из соображения симметрии следует, что Е в любой точке будет направлена вдоль радиуса, перпендикулярно оси цилиндра.

      Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров  для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r.

      Следовательно, поток вектора  через рассматриваемую поверхность, равен

      При  на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса , отсюда

.

(2.5.6)

      Если   , т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет (рис.2.15).

Рис. 2.15

      Если уменьшать радиус цилиндра R (при ), то можно вблизи поверхности получить поле с очень большой напряженностью и, при , получить нить.

Поле двух коаксиальных цилиндров с одинаковой линейной плотностью λ, но разным знаком

      Внутри меньшего и вне большего цилиндров поле будет отсутствовать  (рис. 2.16).

Рис. 2.16

      В зазоре между цилиндрами, поле определяется так же, как и в предыдущем случае:

Это справедливо и для бесконечно длинного цилиндра, и для цилиндров конечной длины, если зазор между цилиндрами намного меньше длины цилиндров (цилиндрический конденсатор).

47. Диэлектрик состоит из атомов и молекул. Если заменить полож. заряды ядер молекул суммарным зарядом +q, находящимся в центре «тяжести» полож. зарядов, а заряд всех электронов – суммарным отр. зарядом –q, нах. в центре «тяж.» отриц. зарядов, то молекулу можно рассматривать как электрич. диполь с электрическим моментом p = |Q| l (l – плечо диполя). Типы диэл.:

Неполярные - вещ-ва, молекулы которых имеют симметричное строение, т.е. «центры тяжести» полож. и отриц. зарядов в отсутствие внешнего эл. поля совпадают и дипольный момент = 0.

Под действием внешнего эл. поля заряды неполярных молекул смещ. в противоп. стороны и молекула приобретает дип. момент.

Полярные – вещ-ва, молекулы кот. имеют асимметр. строение, т.е. центры «тяж.» полож. и отр. зарядов не совпадают. При отсут. Внешнего поля дипольные моменты из-за теплового движ-я ориентированы хаотично и их результирующий момент равен 0.

При внесении в поле силы поля стремятся повернуть диполи вдоль поля и возникает дипольный момент, отличный от нуля.

Ионные – вещ-ва, молекулы которых имеют ионное строение.

В кристаллах нельзя выделить отдельные молекулы – их можно рассматривать как систему вдвинутых одна в другую ионных подрешёток. При наложении на ионный кристалл эл. поля происх. некоторая деформация крист. решётки или относит. смещение подрешёток, приводящее к возникновению дип. момента.

Поляризация: Электронная (деформационная): заключается в возникновении у атомов индуцированного дипольного момента за счёт деформации электронных орбит. Ориентационная (дипольная): заключ. в ориентации имеющихся дипольных моментов по полю. Тепловое движение препятствует полной ориентации молекул, но в рез-те совместного действия эл. поля и тепл. движения возникает преимущественная ориентация дип. моментов по полю. Эта ориентация тем сильнее, чем больше напряжённость эл. поля и ниже температура.

При внесении в однородное внешнее поле Е₀, создаваемое двумя бесконечными параллельными разноимённо заряженными плоскостями пластинки из однородного диэлектрика перпендикулярно плоскостям, диэлектрик поляризуется и происходит смещение зарядов: полож. смещаются по полю, отриц. – против. В рез-те этого на грани диэлектрика, обращённой к отриц пл-ти, будет избыток полож. заряда с поверхн. плотностью +δ’, на другой – отриц. заряда с пов. плотностью -δ’ (пов. плотн. +δ и –δ - на плоскостях). Эти нескомпенсированные заряды, появляющиеся в рез-те поляризации диэл-ка, наз. связанными. Т.к. их поверхностная плотность δ’ меньше плотности δ свободных зарядов плоскостей, то не всё поле Е компенсируется полем зарядов диэл-ка: часть линий напряж-ти пройдёт сквозь диэлектрик, другая часть – обрывается на связанных зарядах. Следовательно, поляризация диэлектрика вызывает уменьшение в нём поля по сравнению с первоначальным внешним полем. Вне диэл-ка Е = Е₀ Т.о., появление связ. Зарядов приводит к возн. дополн. эл. поля Е’ (создаваемого связ. Зарядами), которое направлено против внешнего Е₀ (созд. Своб. зарядами) и ослабляет его. Результ-щее поле внутри диэл-ка Е = Е₀ – Е’

48. Количественной мерой поляризации диэлектрика служит вектор Р , называемый поляризованностью (вектор поляризации) и равный отношению электрического дипольного момента малого объема диэлектрика к этому объему V : Р=1Vр_ei, где p_ei электрический дипольный момент i-ой молекулы; n-общее число молекул в объеме V.(V-должен быть мал, чтобы эл. поле считать однородным, n-достаточно велико). P=n₀p_e, где n₀-концентрация молекул (n₀=n/V);P=n₀₀E=₀E, где =n₀-безразмерная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью неполярного диэлектрика (>0).Поляризованность полярного диэлектрика: Р=1/Vp_ei=n<p_e>/V=n₀<p_e>, где <p_e>-среднее значение вектора дипольного момента для всех n молекул, содержащихся в малом объеме V диэлектрика. Диэлектрическая восприимчивость =n₀p²_e/3₀T-называется формулой Дебая-Ланжевена. Вектор D=₀E+P называется эликтрическим смещением (электрической индукцией). Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля в среде: поток электрического смещения (поток смещения) электростатического поля сквозь произвольную замкнутую поверхность, проведенную в поле, равен алгебраической сумме свободных зарядов, охватываемых этой поверхностью (интеграл с кружочком в середине от DdS=q своб. охв.В изотропной диэлектрической среде вектор Р пропорционален Е, поэтому D=₀E+₀E=₀E, где =1+-относительная диэлектрическая проницаемость среды. Как и ,-величина безразмерная.Для вакуума=0 и =1.

49. В металлических проводниках имеются свободные носители заряда – электроны проводимости, к-рые могут под действием элект-го поля перемещаться по всему проводнику. Электрич-ие св-ва проводников в условиях электростатики определ-ся поведением электронов проводимости во внеш. электростатическом поле. В отсутствие внеш. поля электр-ие поля электронов проводимости и «+»-ных ионов металла взаимно компенсируются. Если металлич. проводник внесен во внеш. электростат-ое поле, то под действием этого поля электроны проводимости перераспредел-ся в проводнике таким образом, чтобы в любой точке внутри проводника элект-кое поле электронов проводимости и «+»-ных ионов скомпенсировало внеш. поле. Для проводника в электростат-ом поле выполняются след-ие условия: 1) всюду внутри проводника напряженность поля Е=0, а у его пов-ти Е=Е_n; 2) весь объем проводника эквипотенциален, т.к. в любой точке внутри проводника dφ/dl= - E_l = - Ecos(E, dl) = 0; 3) пов-ть проводника эквипотенциальна, т.к. для любой линии на этой пов-ти dφ/dl = - Е_τ = 0; 4) нескомпенсированные заряды располагаются в проводнике только на его пов-ти, т.к., согласно теореме Остроградского-Гаусса, заряд q, охватываемый произвольной замкнутой пов-тью S, проведенной внутри проводника =0 Вектор Е напряженности поля у пов-ти проводника направлен по нормали к пов-те, т.к. касательная составляющая вектора Е вызывала бы перемещение носителей тока по пов-ти проводника, что противоречит условию равновесия зарядов в проводнике, находящ-ся в электр-ом поле. Напряженность Е и электр-ое смещение D электростатич-го поля вблизи пов-ти проводника связаны с поверхностной плотностью σ свободных зарядов на проводнике: D_n = σ, E_n=σ/(εε₀)

50. Величина С, равная отношению заряда q уе диненного проводника к его потенциалу φ, наз-ся электроемкостью этого проводника. Она зависит от формы и размеров проводника, причем при прочих равных условиях электроемкости геометрически подобных проводников пропорциональны их линейным размерам. Электроемкость зависит также от диэлект-их св-в окружающей его среды. Если среда однородна и изотропна, то, электроемкость проводника пропорц-на относительной диэлект-ой проницаемости среды. Ни от материала проводника, ни от формы и размеров возможных полостей внутри проводника его електроемкость не зависит, т.к. свободные заряды находятся только на внешней пов-ти проводника. С - не зависит также ни от заряда проводника, ни от его потенциала, если окружающая среда необладает сегнетоэлектрич-ми св-вами. Электроемкость неуединенного проводника всегда больше електроемкости того же проводника, когда он уединен. Конденсатор – с-ма из двух проводников, форма и взаимное расположение к-рых таковы, что электростат. поле этих проводников при сообщении им равных по абсолютному значению и противоположных по знаку элект-ких зарядов полностью и почти полностью локализовано в ограниченной области пространства. Сами проводники – обкладки конденсатора. Электроемкость конденсатора – электроемкость его обкладок. Три типа конденсаторов: 1) плоский конденсатор состоит из двух параллельных металлич-х пластин площадью S каждая, располож-ых на близком расстоянии d одна от другой. Заряды пластин q>0 и –q. C=q/(φ1- φ2)= εε₀S/d.; 2) сферический состоит из двух концентрических металлич-х обкладок сферической формы. С= (4πεε₀R₁ R₂)/ R₂- R_1. 3) цилиндрический состоит из двух соосных тонкостенных металлич-х цилиндров высотой h вставленных друг в друга. С= (2πεε₀h)/ ln(R₂ / R_1.).

51. Сообщение проводнику элек-го заряда связано с совершением работы по преодолению кулоновских сил отталкивания между одноименными зарядами. Эта работа идет на увелич-е элек-кой энергии заряженного проводника. Элементарная работа δА´, совершаемая внешними силами при перенесении малого заряда dq из бесконечности на уединенный проводник, равна δА´=φdq=Cφdφ, где С и φ – электроемкость проводника и его потенциал, начало отсчета к-рого выбрано в бесконечно удаленной точке. Работа, совершаемая при увеличении потенциала проводника от 0 до φ, т.е. при сообщении проводнику заряда q=Cφ, равна А´=(Сφ²)/2. Следовательно, электрическая энергия заряженного уединенного проводника W=Сφ²/2 = q²/2C = qφ/2. Аналогично – энергия заряженного конденсатора: здесь δА´=(φ₁-φ₂)dq= qdq/C и А´= q²/2C. Соответственно элект-кая энергия заряженного конденсатора W= q²/2C=C(φ₁-φ₂)²/2 = q(φ₁-φ₂)/2. Элек-кую энергию любой с-мы заряженных неподвижных тел – проводников и непроводников – можно найти по формуле W=1/2∫φσdS+1/2 ∫φρdV, где ρ и σ – объемная и поверхностная плотности свободных зарядов; φ – потенциал результирующего поля всех свободных и связанных зарядов в точках малых элементов dS и dV заряженных поверхностей и объемов. Интегрирование проводится по всем заряженным пов-тям тел с-мы и по всему заряженному объему. Выражение для объемной плотности энергии электростат. поля: w=W/V=1/2εε₀E²=1/2ED, где D=εε₀E – элек-кое смещение. Оно справедливо также и для неоднородных полей.

52. Элек-кий ток наз-ся постоянным, если его направление и сила тока не изменяются с течением времени. Для пост. тока: I=q/t, где q – заряд, переносимый сквозь рассм-мую пов-ть за конечный промежуток времени t. Для постоянства тока необходимо, чтобы напряженность эл-кого поля во всех точках проводника сохранялась неизменной. Поэтому заряды не должны накапливаться или убывать где либо в проводнике по к-рому идет пост. ток, т.е. цепь пост. тока должна быть замкнута, а сила тока одинакова во всех поперечных сечениях цепи. Для хар-ки направления эл-кого тока и распределения силы тока по пов-ти вводится вектор поверхности тока: j=dI/dS. Синусоидальный эл-кий ток – периодически переменный ток, являющийся синусоидальной функцией времени. Мгновенное значение силы синусоидального тока I=I₀sin(ωt+φ₀), где I₀ – max возможное значение I (амплитуда силы тока), ω= 2π/Т – круговая частота тока, ωt+φ₀ – фаза тока, φ₀ – начальная фаза Зако́ны Кирхго́фа (или правила Кирхгофа) — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой электрической цепи. Правила Кирхгофа позволяют рассчитывать любые электрические цепи постоянного и квазистационарного тока.^[1] Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения любых электротехнических задач. Применение правил Кирхгофа к цепи позволяет получить систему линейных уравнений относительно токов, и соответственно, найти значение токов на всех ветвях цепи.

Формулировка

Для формулировки законов Кирхгофа, в электрической цепи выделяются узлы — точки соединения трёх и более проводников и контуры — замкнутые пути из проводников. При этом каждый проводник может входить в несколько контуров.

В этом случае законы формулируются следующим образом.

Первый закон (ЗТК, Закон токов Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма токов в любом узле любой цепи равна нулю (значения вытекающих токов берутся с обратным знаком):

.

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Данный закон следует из закона сохранения заряда. Если цепь содержит p узлов, то она описывается p − 1 уравнениями токов. Этот закон может применяться и для других физических явлений (к примеру, водяные трубы), где есть закон сохранения величины и поток этой величины.

Второй закон (ЗНК, Закон напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений по любому замкнутому контуру цепи равна алгебраической сумме ЭДС, действующих вдоль этого же контура. Если в контуре нет ЭДС, то суммарное падение напряжений равно нулю:

для постоянных напряжений ;

для переменных напряжений .

Иными словами, при обходе цепи по контуру, потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Если цепь содержит ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве , то она описывается уравнениями напряжений. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи.

Законы Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

На этом рисунке для каждого проводника обозначен протекающий по нему ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми им узлами (буквой «U»)

Например, для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым законом выполняются следующие соотношения:

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например здесь, токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

В соответствии со вторым законом, справедливы соотношения:

Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), перепад напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.

Законы Кирхгофа, записанные для узлов и контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и напряжения.

Существует мнение, согласно которому «Законы Кирхгофа» следует именовать «Правилами Кирхгофа», ибо они не отражают фундаментальных сущностей природы (и не являются обобщением большого количества опытных данных), а могут быть выведены из других положений и предположений.

53. Потенциал-энергия одного положительного заряда, помещенного в данную точку поля. Разность потенциалов-величина, численно равная работе по перемещению единичного положительного заряда из одной точки поля в другую. Разность потенциалов- энергетическая характеристика поля. ЭДС-работа сторонних сил по перемещению заряда. Сторонние силы неэлектростатические силы, действующие на носитель тока, необходимые для поддержания в цепи постоянного тока. Напряжение-физическая величина, численно равная суммарной работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при перемещении заряда по участку цепи. Закон Джоуля-Ленца для участка цепи переменного тока: Q=Y²*R*t. Кол-во теплоты, выделяемое постоянным электрическим током в участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.