1. Виды векторов. Линейные операции над векторами, их свойства.

Виды:Свободные вектора, нулевой вектор, коллинеарные вектора, равные вектора, противоположные вектора, компланарные вектора.

Линейные операции: Сложение векторов, вычитание векторов, умножение вектора на число.

Свойства:

α(βа)=(αβ)а

b=λa

a+b=b+a

a+(b+c)=(a+b)+c

α(a+b)=αa+αb

(α+β)a=αa+βa

2. Базис на плоскости и в пространстве

Базисом на плоскости называется 2 не коллинеарных вектора, взятых в определенном порядке.

Базисом в пространстве называется 3 не компланарных вектора, взятых в определенном порядке.

3. Линейные операции над векторами в координатах. Ортонормированный базис и прямоугольные координаты.

При умножении вектора на число, каждая координата умножается на это число.

При сложении/вычитании векторов складываются/вычитаются их соответствующие координаты.

Базис называется ортонормированным, если его вектора попарно ортогональны (перпендикулярны) и по длине равны 1.

Декартовыми прямоугольными координатами в пространстве называется совокупность точки О и ортонормированного базиса i, j, k.

4. Проекциявектора на ось. Свойства проекций.

Проекцией вектора АВ на ось uназывается длина (взятая со знаком + или -) отрезка А_1­­­В₁оси u, заключенного между основаниями перпендикуляра, опущенных на ось uиз начала и из конца вектора АВ.

Свойства проекции:

пр_uAB=|AB|cosφ , где φ угол между АВ и осью u

пр_u(а₁+а₂)=пр_uа₁+пр_uа₂

пр_u(λа)=λпр_uа

5. Скалярное произведение, его свойства. Скалярное произведение в координатах.

Скалярным произведением двух не нулевых векторов aи bназывается число, равное произведению длин этих векторов на cosугла между ними.

(a,b)=|a|*|b|*cos(a,b)

Свойства:

(a,b)=(b,a)

(λa,b)=λ(a,b)

(a+b,c)=(a,c)+(b,c)

(a,a)=|a|²

(a,b)=0если a┴b

Скалярным произведением в координатахназывается произведение соответствующих координат.

(a,b)=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂

6. Приложения скалярного произведения

1. Механический смысл скалярного произведения: A=(F,S)

2. Длина вектора а: |a|=

3. Угол между векторами aи b: cos(a,b)=

4. Проекция вектора на координатные оси: пр_ia=x₁пр_ja=y₁пр_ka=z₁

5. Направляющие косинусыcosα= cosβ= cosγ=

7. Векторное произведение, его механический смысл. Векторное произведение в координатах.

Векторным произведением aна b (aне параллельно b) называется с, удовлетворяющий условиям:

1. |c|=|a|*|b|*sin(a,b)

2. c┴a, c┴b

3. a,b,cобразуют правую тройку

Если а // bто векторное произведение равно 0

М еханический смыслAK

L

О М

Моментом силы Fотносительно точки О называется вектор L, который обладает свойствами:

1. |L|=|OM|*|MK|*sin(OM,MK)

2. L┴π, проходящей через точки О, М, К

3. L направлен так, что из конца его сила Fпредставляется вращающей плоскостью π вокруг точки О против часовой стрелки

Векторное произведение в координатах: |ijk|

|x₁ y₁ z₁|

|x₂y₂z₂|

8. Свойства векторного произведения

1. [a,b]=0a//b

2. |[a,b]|=S_{параллелограмма} S_{треугольника}=1/2|[a,b]|

3. [a,b]=-[b,a]  [a,a]=0

4. [λa,b]=λ[a,b] [a,λb]=λ[a,b]

5. [a+b,c]=[a,c]+[b,c] [a,b+c]=[a,b]+[a,c]

6. [i,i]=[j,j]=[k,k]=0

[i,j]=k [j,k]=i [k,i]=j