- •Аффинное пространство и его простейшие свойства. Примеры.
- •Координаты в аффинном пространстве.
- •Плоскости в аффинном пространстве.
- •Аффинно-независимые точки аффинного пространства.
- •Векторное параметрическое уравнение плоскости. Плоскости и системы линейных уравнений.
- •Пересечение и сумма плоскостей аффинного пространства.
- •Аффинное отображение.
- •Изоморфизм аффинных пространств
- •Аффинные преобразования. Выражение аффинного преобразования в координатах.
- •Параллельный сдвиг аффинного пространства. Формулы параллельного сдвига. Центроаффинное отображение. Формулы центроаффинного отображения.
- •Фигуры в аффинном пространстве. Простое отношение трех точек. Отрезок. Середина отрезка. Центр фигуры.
- •Евклидово точечное пространство. Прямоугольная система координат.
- •Плоскости евклидова точечного пространства.
- •Гиперплоскость евклидова точечного пространства. Расстояние от точки до гиперплоскости. Объем параллелепипеда.
- •Движения евклидова точечного пространства. Группа движений евклидова точечного пространства. Метрически эквивалентные фигуры евклидова точечного пространства.
- •Собственные движения евклидовой точечной плоскости.
- •Движения трехмерного евклидова точечного пространства.
- •Несобственные движения евклидовой точечной плоскости. Аффинные преобразования евклидова точечного пространства.
- •Пространство An (I). Определение квадрики. Преобразование уравнения квадрики.
- •Пересечение квадрики с прямой.
- •Асимптотические направления. Центр квадрики.
- •Линии эллиптического, гиперболического и параболического типов. Центры линий второго порядка.
- •Диаметральные плоскости. Диаметры линий второго порядка.
Векторное параметрическое уравнение плоскости. Плоскости и системы линейных уравнений.
Зафиксируем в пространстве An некоторую точку О. Тогда произвольную точку М пространства An можно задать с помощью ее радиуса-вектора r = .
Пусть в пространстве An задана плоскость Пk, проходящая через точку М0 с радиусом-вектором r0 = и направляющим пространством V k. Возьмем в линейном пространстве V kкакой-либо базис а1, а2,…,аk. Тогда r = r0+t1a1+ t2a2+ …+tkak. (3)
где t1, t2, …tk принадлежит основному полю Р. Когда эти числа принимают всевозможные значения из поля Р, точка М с радиусом-вектором (3) описывает плоскость Пk. Уравнение (3) называется векторным параметрическим уравнением плоскости Пk, а числа t1, t2, …tk – параметрами. Заметим, что уравнения (1) и (2) являются частными случаями уравнения (3).
Если точка О принадлежит плоскости Пk, то, взяв ее в качестве начальной точки , уравнение этой плоскости можно записать в виде r = t1a1+ t2a2 +…+ tkak.
В этом случае множество всех радиус-векторов точек плоскости Пk совпадает с направляющим пространством V k этой плоскости.
Пусть задана система линейных уравнений ai1x1+ ai2x2+… ainxn=bi , i=1, 2, …, m, (1)
где aij ,bi - числа из поля Р. В параграфе 18.3 систему линейных однородных уравнений с теми же коэффициентами aijai1x1+ ai2x2+… ainxn=0 , i=1, 2, …, m, (2)
мы назвали приведенной для системы (1) и (2). Дадим ей геометрическое истолкование. В аффинном пространстве An , связанном с линейным пространством Vп над полем Р , зафиксируем некоторый репер (О, е1, е2, …,еп). (3)
Тогда произвольный вектор с Vп может быть задан своими координатами , , …, в базисе е1, е2, …,еп. Будем называть вектор с решением системы (1) (или(2)), если его координаты образуют решение этой системы. Как показано в параграфе 18.2, множество всех векторов, являющихся решениями системы (2), есть (n - r)-мерное подпространство V n – r линейного пространства V n , где r – ранг матрицы . Если а1, а2, …, а n – r - базис этого подпространства, то каждый вектор r V n – r можно представит в виде r = t1a1+ t2a2 +…+ t n – r+ a n – r , ti P. (4)
Если система (1) совместна и r0 – одно из решений этой системы , то, согласно теореме 18.3, все ее решения задаются формулой r = r0+ t1a1+ …+ t n – r+ a n – r , ti P. (5)
Точка М An называется решением системы (1) (или(2)), если ее радиус-вектор r = является решением этой системы. Так как уравнение (5) задает (n - r)-мерную плоскость, направляющее пространство которой есть пространство решений системы (2), то справедлива.
Теорема 25.5. Пусть (1) – совместная система линейных уравнений, r-ранг ее матрицы. Множество точек аффинного пространства An, являющихся решениями этой системы, есть (n - r)-мерная плоскость, направляющее пространство которой совпадает с пространством решений приведенной системы (2).
Заметим, что плоскость, заданная системой линейных уравнений, проходит через начало координат тогда, когда эта система однородная. Верна и обратная
Теорема 25.6. Пусть в аффинном пространстве An фиксирован репер (3). Тогда любая плоскость Пk пространства An есть множество всех решений некоторой линейной системы.
Следствие: Линейное уравнение a1x1+ a2x2+…+ anxn= b (7)
задает в пространстве An гиперплоскость, и обратно, любая гиперплоскость в An может быть задана уравнением (7)