- •Аффинное пространство и его простейшие свойства. Примеры.
- •Координаты в аффинном пространстве.
- •Плоскости в аффинном пространстве.
- •Аффинно-независимые точки аффинного пространства.
- •Векторное параметрическое уравнение плоскости. Плоскости и системы линейных уравнений.
- •Пересечение и сумма плоскостей аффинного пространства.
- •Аффинное отображение.
- •Изоморфизм аффинных пространств
- •Аффинные преобразования. Выражение аффинного преобразования в координатах.
- •Параллельный сдвиг аффинного пространства. Формулы параллельного сдвига. Центроаффинное отображение. Формулы центроаффинного отображения.
- •Фигуры в аффинном пространстве. Простое отношение трех точек. Отрезок. Середина отрезка. Центр фигуры.
- •Евклидово точечное пространство. Прямоугольная система координат.
- •Плоскости евклидова точечного пространства.
- •Гиперплоскость евклидова точечного пространства. Расстояние от точки до гиперплоскости. Объем параллелепипеда.
- •Движения евклидова точечного пространства. Группа движений евклидова точечного пространства. Метрически эквивалентные фигуры евклидова точечного пространства.
- •Собственные движения евклидовой точечной плоскости.
- •Движения трехмерного евклидова точечного пространства.
- •Несобственные движения евклидовой точечной плоскости. Аффинные преобразования евклидова точечного пространства.
- •Пространство An (I). Определение квадрики. Преобразование уравнения квадрики.
- •Пересечение квадрики с прямой.
- •Асимптотические направления. Центр квадрики.
- •Линии эллиптического, гиперболического и параболического типов. Центры линий второго порядка.
- •Диаметральные плоскости. Диаметры линий второго порядка.
Пересечение и сумма плоскостей аффинного пространства.
Определение 7. Пусть - n-мерное аффинное пространство, связанное с векторным пространством , – плоскость с направляющим пространством , проходящая через точку , – плоскость с направляющим пространством , проходящая через точку . Плоскости и называются пересекающимися, если они имеют по крайней мере одну общую точку.
Теорема 7. Пусть – n-мерное аффинное пространство, связанное с векторным пространством , – плоскость с направляющим пространством , проходящая через точку , – плоскость с направляющим пространством , проходящая через точку . Тогда
1) плоскости и пересекаются тогда и только тогда, когда , где – сумма подпространств и линейного пространства ;
2) если плоскости и пересекаются, то их пересечением является плоскость с направляющим пространством .
Определение 8. Суммой плоскостей и аффинного пространства называется их аффинная оболочка, т.е. плоскость наименьшей размерности, содержащая плоскости и . Обозначается .
Теорема 8. Пусть – аффинное пространство, связанное с векторным пространством над полем ; и – плоскости размерности k и l соответственно из с направляющими пространствами и ; Пусть т – размерность пересечения . Тогда размерность суммы плоскостей и равна , если эти плоскости пересекаются,
и , если они не пересекаются.
Док-во: 1) Пусть плоскости Пk и Пl пересекаются и О – их общая точка. Если принять эту точку за начало отсчета радиусов-векторов, то множествами радиус-векторов точек плоскостей Пk , Пl и Пk Пl являются соответственно Vk , Vl и Vk Vl. Но тогда формула (8) следует из теоремы 17.8.
2)Пусть теперь плоскости Пk и Пl не пересекаются. Рассмотрим одномерное подпространство пространства V n и подпространство S = Vk + Vl +T. Согласно теореме 25.7, Vk + Vl, поэтому dim S = k + l – m + 1. Очевидно, что плоскость П с начальной точкой М0 и направляющим пространством S содержит каждую из плоскостей Пk и Пl. С другой стороны, любая плоскость, которой принадлежит плоскости Пk и Пl, содержит плоскость П. Итак, П – аффинная оболочка плоскостей Пk и Пl, и , следовательно , формула (9) доказана.
Определение 9. Характеристикой пары плоскостей и аффинного пространства называется упорядоченный набор чисел , где s – размерность суммы плоскостей и , а – размерность пересечения их направляющих пространств.
Замечание. Без ограничения общности можно считать, что . Тогда .
Определение 10. Непересекающиеся плоскости и с характеристикой называются:
1) параллельными, если ;
2) частично параллельными, если ;
3) скрещивающимися, если .
Аффинное отображение.
Пусть и - аффинные пространства, связанные соответственно с линейными пространствами и над полем P.
Определение 11. Отображение называется аффинным, если существует линейное отображение такой, что для любых точек . Отображение называется однородной частью отображения f.
Теорема 25.9. Для любого линейного оператора (2) и любых точек M , существует единственное аффинное отображение (1), такое, что - его однородная часть и M1 = f (M).
Док-во: Предположим, что искомое отображение (1) существует. Возьмём произольную точку .Тогда в силу равенства (3) имеем f = .
В силу аксиомы из определения 25.1 существует единственная точка , такая, что f(N)=N1 .
Итак, если искомое отображение (1) существует, то оно единственно. Теперь докажем существование отображения, построив его следующим образом. Для произвольной точки определим ее образ N1 при искомом отображении f с помощью равенства =
Это возможно в силу аксиомы 10 из определения 25.1. Покажем теперь, что построенное отображение f удовлетворяет условию ( ) =f для любых точек K,L . Имеем = = =- =- = .
Теорема 25.10.Пусть -система аффинное независимость точек пространства , а - произвольная система точек пространства . Тогда существует единственное аффинное отображение (1), удовлетворяющее условиям f ).