2.3.3 Примеры выполнения задания к-3

Пример К-3.1. По заданному уравнению относительного движения точки М: и уравнению вращения тела Д: . Найти абсолютнуюскорость и абсолютное ускорение точки М в момент t₁ =1 с, если =МОК = 30° (рис. 2.64).

Решение:

Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение в прорези тела Д относительным (относительное движение – прямолинейное), а вращение точки М вместе с телом Д – переносным движением.

Находим положение точки в подвижной системе отсчета при t₁ = 1 с:

см.

Определим все кинематические характеристики относительного и переносного движения.

1. Относительное движение. Это движение задано естественным способом.

Рассчитываем относительную скорость:

; при t₁=1 с см/с.

Так как , то вектор относительной скорости направлен вдоль прямой АМ в сторону возрастания дуговой координаты.

Находим относительное ускорение точки М:

, так как (движение прямолинейное);

; при t₁ = 1 с см/с².

Так как , то вектор относительного касательного ускорения направлен в сторону, противоположную вектору скорости, а его модуль равен 19,0 см/с².

2. Переносное движение. Это движение задано уравнением . Определяем угловую скорость и угловое ускорение тела Д:

; при t₁ = 1 с с^-1, с^-2.

Так как и, то направление вращения противоположно положительному направлению отсчета углаφ и вращение ускоренное. Модули с^-1, с^-2. Направление вектора угловой переносной скорости показано на рис. 2.64.

Для определения переносной скорости и переносного ускорения точки находим сначала расстояние от точки М до оси вращения:

см.

В момент времени = 1 с получаем:

см/с;

см/с²;

см/с².

Через точку М проводим пространственные оси координат х, у, z и в соответствии с направлениями угловой скорости и углового ускорения направляем векторы и.

3.Ускорение Кориолиса. Так как угол между векторами иравен180^о-, то модуль в момент= 1 с будет:

.

Воспользовавшись правилом Жуковского, направляем вектор противоположно положительному направлению осих.

4. Абсолютное движение. В соответствии с теоремой сложения скоростей имеем . Так как векторы ивзаимно перпендикулярны, то в момент= 1 с

см/с.

По теореме сложения ускорений

.

Для вычисления спроецируем это равенство на координатные осих, у, z. Для момента времени = 1 с получаем:

см/с²;

см/с²;

см/с².

Находим значение a_a в момент t₁ = 1 с: .

Ответ: ,.

Пример К-3.2. По ободу (дуге АМ) пластины радиусом R = 60 см движется точка М по закону . Пластина вращается по относительно неподвижной оси, проходящей через точку O перпендикулярно к плоскости пластины (рис. 2.65). Найти абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент t₁ = 1 с.

Решение:

Рассмотрим движение точки М как сложное, считая ее движение по ободу пластины относительным, а вращение пластины переносным движением.

Находим положение точки М в момент t₁ = 1 с в подвижной системе отсчета:

; .

Изображаем на расчетной схеме точку М в этом положении. Определяем все кинематические характеристики относительного и переносного движений.

1. Относительное движение. По известному уравнению относительного движения находим относительную скорость :

при с .

Так как , то вектор относительной скорости направлен по касательной к траектории (окружности) в сторону возрастания дуги S, а модуль . Находим относительное ускорение точки М:

при .

При векторсовпадает с направлением вектора. Направления векторовипоказываем на рисунке.

2. Переносное движение. Находим угловую скорость и угловое ускорение:

при .

Так как , то направление вращения противоположно положительному направлению отсчета угла, т.е. направлено по часовой стрелке, а вектор перпендикулярен к плоскости рисунка. В связи с тем, что , вращение – замедленное.

Для нахождения переносной скорости и переносного ускорения находим расстояние ОМ. Так как ОСМ = 60°, то треугольник ОМС равносторонний, а поэтому ОМ = R = 60 см.

Находим и, в момент :

;

;

Векторы и направлены в соответствии с направлениями угловой скорости и углового ускорения, а – от точки М к точке О.

3. Ускорение Кориолиса. Угол между векторами , и равен 90°, поэтому , и направляем вектор , используя правило Жуковского.

4. Абсолютное движение. Используя теоремы сложения скоростей и ускорений, находим абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М в момент

;

;

.

Проводим координатные оси х и у и проецируем векторное выражение ускорения на эти оси: ,

.

По известным проекциям находим модули абсолютной скорости и абсолютного ускорения

;

.

Ответ: .

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет