ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ. Д-6

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет

Д.Н. Ешуткин и др.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНЫХ РАБОТ

Задание Д-6. Уравнения Лагранжа второго рода

Рекомендовано редакционно-издательским советом ОрелГТУ

в качестве учебного пособия

Орел 2006

УДК Е 96 531 (076)

ББК 22.21 7

Е 96

Рецензенты:

кандидат технических наук, заведующий кафедрой общеинженерных дисциплин Орловского государственного аграрного университета

Г.М. Абрамов,

кандидат технических наук, доцент кафедры «Динамика и прочность машин»

А.Ю. Корнеев

Е 96 Ешуткин, Д.Н. Теоретическая механика, задания для самостоятельных работ: учебное пособие/ Д.Н. Ешуткин, А.И. Пономарев, Е.Н. Грядунова, А.В. Журавлева. — Орел: ОрелГТУ, 2006. — 122 с.

Учебное пособие содержит задания для самостоятельных работ, которые охватывают все основные разделы теоретической механики: статику, кинематику и динамику, и задачи по всем главным темам этих разделов. К каждому заданию дается подробное указание по выполнению, формулы и примеры.

Учебное пособие отвечает содержанию рабочих программ по теоретической механике и предназначено студентам, обучающимся на всех специальностях очной и заочной форм обучения, изучающих дисциплину «Теоретическая механика».

УДК 531 (076)

ББК 22.21 7

Е 96

© ОрелГТУ, 2006

ВВЕДЕНИЕ

Теоретическая механика – это наука о законах механического движения и равновесия материальных тел. Под механическим движением понимается изменение относительного положения материальных тел в пространстве с течением времени. Теоретическая механика изучает наиболее общие законы механического движения. Она не учитывает индивидуальные свойства материальных тел, за исключением двух свойств: протяженности и гравитации. Наблюдать и изучать механическое движение материальных тел можно по отношению к другим материальным телам, принятым за тела отсчета. С этими телами обычно связывают систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Частным случаем механического движения является равновесие материальных тел.

Теоретическую механику условно делят на статику, кинематику и динамику.

В данном пособии приведены достаточно простые задачи по основным разделам теоретической механики, решение которых позволяет освоить основные алгоритмы применения теоретических положений на практике.

Характерная особенность приведенных заданий – несложность использования математических выкладок и их физическая прозрачность, что позволяет не акцентировать внимание студента на конкретных условиях задачи, а понять при самостоятельной работе алгоритм решения подобного класса задач.

3 ДИНАМИКА

Динамикой называется раздел теоретической механики, в котором изучается движение материальных тел (точек) с учетом действующих на них сил.

3.6 Задание Д-6. Уравнения Лагранжа второго рода

3.6.1 Применение уравнений Лагранжа второго рода

Определить ускорение груза, имеющего больший вес (табл. 11) по уравнению Лагранжа второго рода. Использовать данные к заданию Д-5 (рис. 3.97-3.126).

Для механической системы с идеальными связями и обобщенными координатами , имеющей n степеней свободы, из общего уравнения динамики можно получить дифференциальные уравнения движения системы в обобщенных координатах, или уравнения Лагранжа второго рода:

(3.47)

где Т – кинетическая энергия механической системы;

– обобщенные силы, соответствующие выбранным обобщенным координатам .

Уравнениями Лагранжа можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с голономными связями независимо от того, сколько точек или тел входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается.

3.6.2 Указания к выполнению задания Д-6

Для решения задачи надо проделать следующие операции:

1. Определить число степеней свободы системы и выбрать обобщенные координаты в количестве, равном числу степеней свободы. Обобщенные координаты должны быть между собой независимы, и однозначно определять положение всех точек системы.

2. Изобразить все действующие на систему активные силы, а если связи не являются идеальными, то добавить к ним соответствующие реакции связей (например, силы трения). Для определения обобщенной силы, соответствующей i-й обобщенной координате, надо вычислить сумму работ всех активных сил и реакций неидеальных связей на возможном перемещении , считая остальные . Обобщенная сила будет равна коэффициенту при .

3. Вычислить кинетическую энергию Т механической системы и выразить ее через обобщенные координаты и скорости.

4. Найти частные производные от кинетической энергии Т по обобщенным координатам и обобщенным скоростям и , а затем производную по времени от , т.е. .

5. Полученные в пунктах 2 и 4 результаты подставить в уравнения Лагранжа и, решая полученную систему уравнений, найти искомые величины.

3.6.3 Примеры выполнения задания Д-6

Пример Д-6.1. По условию задания Д-5.1 решить задачу для схемы (рис. 3.128).

Дано: Р₁ = 6Р, Р₂ = 4Р, Р₃ = 2Р, Р₄= 2Р, Р₅= Р, F= 16Р.

Найти: - ускорение тела 1 .

Решение:

1. Система имеет одну степень свободы. Выберем за обобщенную координату перемещение х груза 1, т.е. q = х. Тогда уравнение Лагранжа второго рода за­пишется:

(3.48)

2. Укажем действующие на систему активные силы: . Добавим к ним реакции неидеальных связей: .

Сообщим системе возможное перемещение, при котором обобщенная координата х получает приращение . Тогда шкив 5 повернется на , тело 2 переместится на , шкив 4 повернется на , а центр С колеса 3 переместится на и одновременно повернется на . Вычислим сумму элементарных работ показанных сил:

(3.49)

Все входящие в (3.49) возможные перемещения выразим через приращение:

. (3.50)

Кроме того, , а и равны составляющим сил тяжести, перпендикулярным к плоскостям движения:

и (3.51)

Подставив значения (3.50) и (3.51) в (3.49), имеем:

(3.52)

Коэффициент при в (3.52) и есть обобщенная сила Q. Следовательно,

.

Подставляя исходные данные задачи:

(3.53)

3. Определим кинетическую энергию системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

Т = Т₁+Т₂+Т₃+Т₄+Т₅. (3.54)

Так как тела 1 и 2 движутся поступательно, шкивы 4 и 5 вращаются вокруг неподвижной оси, а каток 3 совершает плоское движение, то

.

В этих выражениях (массы распределены по внешним ободам), а (однородный цилиндр).

Все скорости выразим через обобщенную скорость :

.

Здесь учтено, что точка К для катка 3 является МЦС. Подставляя все записанные выражения в (3.54), получим:

Подставим исходные данные задачи:

Так как Т зависит только от , то

. (3.55)

Подставляя найденные значения (3.53) и (3.55) в уравнение (3.48), получим:

.

Отсюда находим искомую величину:

.

Ответ: .

Приложения А

Образец оформления титульного Титульный листа

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Орловский государственный технический Университет

Кафедра - "Теоретическая и прикладная механика"

Расчетно-графическая работа

по дисциплине "Теоретическая механика"

Название работы

Работу выполнил студент

Группа

Специальность

Вариант

Руководитель

Орел, 200 г.

Литература

1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики/ С.М. Тарг. - М.: Наука, 1972. – 478 с.

2. Яблонский, А.А. Курс теоретической механики. Часть 1, 2/ А.А. Яблонский, В.М. Никифорова. - М.: Высш. школа, 1984. – 343 с.

3. Добронравов, В.В. Курс теоретической механики/ В.В. Добронравов, Н.Н. Никитин, А.Л. Дворников. - М.: Высш. школа 1983. – 575 с.

4. Воронков, И.М. Курс теоретической механики/ И.М. Воронков. - М.: Наука, 1966. – 596 с.

5. Савин, Г.Н. Курс теоретической механики/ Г.Н. Савин, Т.В. Путята, Б.Н. Фрадлин. - Киев: Высш. школа, 1973. – 359 с.

6. Лойцянский, Л.Г. Курс теоретической механики. Т.1./ Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. - М.: Наука, 1982. – 352 с.

7. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах. Часть 1./ М.И. Бать, Г.Ю. Джанелидзе, А.С. Кельзон. - М.: Наука, 1984. – 503 с.

8. Ешуткин, Д.Н. Сборник задач по теоретической механике/ Д.Н. Ешуткин, А.И. Пономарев, Е.Н. Грядунова. – Орел: ОрелГТУ, 2005. – 88с.