3.1.2 Указания по выполнению задания д-1
Основное уравнение динамики материальной точки:
, (3.1)
где – масса точки,
–ускорение материальной точки,
–равнодействующая сил, действующих на точку:
.
Проецируя обе части уравнения (3.1) на неподвижные декартовые оси
x, у, z, получим:
(3.2)
Уравнения (3.2) называют дифференциальными уравнениями движения материальной точки в проекциях на неподвижные декартовые оси. Используя эти уравнения, можно по известной массе точки и силам, действующим на неё, найти уравнения движения точки. В этом и заключается вторая основная (обратная) задача динамики точки. Решение задачи сводится к двойному интегрированию. После интегрирования в решение войдут постоянные интегрирования, для определения которых используют начальные условия, т.е. положение и скорость точки в начальный момент времени. При прямолинейном движении вдоль оси х начальные условия задаются в виде:
при = 0 . (3.3)
Решение задачи на интегрирование дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям:
1. Выбрать начало отсчёта, совмещая его с начальным положением точки, и при прямолинейном движении совместить одну из осей координат с направлением движения.
2. Изобразить движущуюся точку в произвольном положении и показать все действующие на точку силы, включая и силы реакций.
Составить уравнения движения точки в виде уравнений (3.2).
Решить составленные уравнения интегрированием. В тех случаях, когда на точку действуют постоянные силы, а также силы, зависящие от времени и от скорости уравнения можно проинтегрировать методом разделения переменных. Если при этом необходимо определить только скорость точки, то часто можно ограничиться одним интегралом.
Определить постоянные интегрирования, используя начальные условия в виде (3.3.). Если дифференциальное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными, то можно брать определённые интегралы и не вводить постоянные интегрирования.
Определить искомые в задаче величины.
Решение задачи разбивается на две части. Сначала нужно составить и проинтегрировать уравнение движения точки на участке АВ, учитывая начальные условия. Затем по известному времени движения на участке АВ или длине определить скорость в точке В. Эта скорость будет начальной при движении на участке ВС. После этого нужно составить дифференциальное уравнение и интегрировать его для участка ВС с учётом начальных условий, ведя отсчёт времени от момента, когда груз находился в точке В, полагая в этот момент. При интегрировании уравнения движения на участке АВ в случае, когда дана длинаучастка, удобнее перейти к переменномух, учитывая, что
.
3.1.3 Пример выполнения задания д-1
Пример Д-3.1. Груз D массой m = 2 кг движется в вертикальной плоскости в изогнутой трубе АВС, получив в точке А скорость =5 м/с (рис.3.31). На участке АВ на груз, кроме силы тяжести, действует сила (её направление показано на рисунке), причём = 2 Н, сила сопротивления среды , коэффициент трения груза о трубу= 0,1, АВ == 2,5 м.
Не изменяя скорости движения, в точке В груз переходит на участок ВС трубы, где на него действуют, кроме силы тяжести и силы трения (коэффициент трения ), переменная сила проекция которой на ось Ox: , и сила Найти закон движения груза на участке ВС:, где
Рис 3.31. Расчетная схема к примеру Д-3.1
Решение:
1. Рассмотрим движение груза на участке АВ, считая его материальной точкой. Изображаем груз и действующие на него силы: . Проведем оси и составим дифференциальные уравнения движения точки в проекциях на эти оси:
(3.4)
Далее находим:
.
Известно, что ,(не изменяется). Из второго уравнения системы (3.4): , находим.
Значит, и первое уравнение в системе 3.4. запишется:
. (3.5)
Учитывая, что разделив обе части (3.5) наm, имеем:
Подставляя числовые значения (), получим:
,
где .
Разделяя переменные, запишем:
. (3.6)
Интегрируя обе части уравнения (3.6), имеем:
. (3.7)
По начальным условиям и, что дает .
Из (3.7) определяем:
или .
Отсюда
.
В результате находим:
. (3.8)
Полагая в (3.8) и заменяяи их значениями, определим скорость в точке В:
.
2. Рассмотрим движение груза на участке ВС. Проведём из точки В оси Вх и Вy и покажем действующие на груз силы: . Составим уравнения движения груза в проекциях на оси х и у:
(3.9)
В уравнениях (3.9) . Так как , то из второго уравнения (3.9) имеем:, откуда.
Следовательно, .
Кроме того, и первое уравнение системы (3.9) принимает вид:
. (3.10)
Разделив обе части равенства на т и подставляя значения , получим:
.
Умножая обе части вышеприведенного равенства на dt и интегрируя, находим уравнение скорости:
. (3.11)
Будем отсчитывать время от момента, когда груз находился в точке В, тогда в этот момент . При. Подставляя эти величины в уравнение скорости, получим: .
Поэтому
.
Так как , подставляя это выражение в вышеприведенное равенство, разделяя переменные и интегрируя, будемиметь:
.
При начальных условиях . Закон движения груза будет иметь вид:
,
где х - в метрах; t - в секундах.
Ответ: м.
Приложения А
Образец оформления титульного Титульный листа
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
Орловский государственный технический Университет