Лекции Сопротивление материалов

vk.com/club1526850503.Нахождение| vk.com/id446425943 главных площадок и

вычисление главных напряжений.

17 18 (24)	x	y	1 2 cos 2
	1	1

													2																		sin 2
2 (19)							(25)								x y
																								1				2
																1	1
						2																	2	4			2									2
(24)	2	25					26								x					y						xy							1		2
																1					1
										(									)		2	4			2
	1				2								x					y							x y
													1					1								1	1
			1				2					x					y
												1					1
	(20`)±(27)=>(28)
						1
																																2			2
1,2												y					)					( x			y )								4 x y
						2		( x
										1					1									1					1						1		1

(24)

(25)

(26)

(27)

(20`)

(28)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

 

* max

** max

*** max

 

	1	(				),
	2		1		3
	1	(					),
	2		1		2
	1	(					).
	2		2		3

(29)

1 2 3 => τ*max наибольшее касательное напряжение в окрестности данной точки.

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Аналогичные результаты получаются (МТДТ, МКЭ) умножением тензор напряжений σ на матрицу поворота R. Тензор напряжений в рассматриваемом

случае:

					x		xy		0
	σ								0
				xy				y
			0			0
										z

(30)

Матрица поворота на угол α вокруг оси z:

cos		sin	0
	sin	cos	0		(31)
R
	0	0	1

Поворот тензора напряжений осуществляется по следующему правилу:

					cos		sin	0				x		xy		0		cos		sin	0
σ	*	RσR	T			sin	cos	0								0			sin	cos	0
											xy				y
						0	0	1		0			0						0	0	1
																	z

(32)

Умножение матриц выполняется по правилу, известному из курса линейной алгебры:

os

sin

0

0

cos

sin

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943x

xy

σ

*

sin

cos

0

0

sin

cos

xy

y

0

0

1 0

0

0

0

z

cos

sin

0

x

cos xy

sin

x

sin xy

sin

cos

0

cos

sin

sin

xy

y

xy

y

0

0

1

0

0

cos

2

sin cos

cos sin

sin

2

x

xy

xy

y

x

=

cos sin

sin

2

cos

2

sin cos

x

xy

xy

y

x

0

0 0 1 cos cos

sin
sin	2

0

0

z

cos

xy

		cos	2		sin	2		cos sin
		xy			xy			y	cos
cos sin					sin cos					2
				xy					y
				0

(33)

0
0
z

Используя уже приводившиеся тригонометрические формул приходим к тому же результату

1

1

cos 2

sin 2

1

sin 2

cos 2

σ

2

x

y

2

x

y

x

xy

2

x

y

x

xy

sin 2

*

1

sin 2

cos 2

1

1

cos 2

2

x

y

x

xy

2

x

y

2

x

y

x

xy

0

0

0 0

z

   

(34)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Альтернативное правило знаков

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

				1
				2
		x					x
				1
							x
	xy			2
		tg2			0

				1
		x				1
				2
				1
		y				1
				2
				1
						1
	xy			2

						1
			y			2
			y	sin			2
		2			xy
		x				y

				1
		2		2		1
				1
		2		2		1
		2	sin 2

xy cos 2 xy sin 2

xy cos 2

2 cos 2

2 cos 2

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943 Круг Мора

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

(12),(13) =>

(14) =>

				x						1						x						y								1				x			y
																																							cos 2
				1						2																				2
				y						1						x						y								1				x			y		cos 2
				1						2																				2
										1																		sin 2										cos 2
				1 1
																	x							y												xy
			x y							2
				tg 2																			2					xy
																						x									y
					1																1												cos 2
		x1										1					2										1					2
					2																2
					1																1
								1																1 2 cos 2
y														2
					2																2
			1
									1											sin 2
	x1 y1								2						1			2

xy

xy

sin 2 sin 2

(41)

(42)

(43)

(44)

vk.com/club152685050 | vk.com/id446425943

Деформированное состояние элемента материала

(45)

(46)

(47)