Уравнение движения тела переменной массы.

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы. Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса уменьшится на dm и станет равной m – dm, а скорость станет равной v + dv. Тогда изменение импульса системы за отрезов времени dt будет равным:

где – скорость истечения газов относительно ракеты. Тогда импульс

Если учесть, что dvdm бесконечно малая величина относительно других, и если на систему действуют внешние силы, то получим:

Если противоположны по направлению, то ракета ускоряется, еслисовпадают по направлению, то ракета тормозится.

Таким образом:

Это уравнение движения тела переменной массы. Его вывел И.В. Мещерский (1859 – 1935).

Идея применения реактивной силы для создания летательных аппаратов высказывалась ещё в 1881 году Н.И. Кибальчичем (1857 – 1905). В 1903 году он опубликовал статьи по теории жидкой основы реактивного двигателя.

Если на ракету не действуют никакие внешние силы и, считая, что скорость выбрасываемых газов относительно ракеты постоянна, ракета движется прямолинейно, получим следующее:

Значение постоянной интегрирования c определим из начальных условий.

Если в начальный момент времени v₀ =0, а её стартовая масса равна m₀, то c = uln m₀, следовательно,

Последнее соотношение – это формула Циалковского. Она показывает:

1) чем больше конечная масса ракеты m, тем больше должна быть стартовая масса ракеты m₀;

2) чем больше u (скорость истечения газов), тем больше может быть конечная масса при данной стартовой массе ракеты.

Уравнение движущегося тела переменной массы и формула Циалковского получены для нерелитевистских движений, т.е. где (во много раз меньше).