Аналитический метод

Дано:

AB=3 см BC=7 см

BD=6 см SO=4см

BO=OD; AO=OC

Найти: SB; AS-?

Решение:­­

1. Рассмотрим ∆SBO (∟SOB=90 т.к. SO┴ пл. ABC => SO┴BO , SO-высота)

∆SBO – прямоугольный. =>

по т. Пифагора

где BO=1/2*BD=3см

BO=OD => SB=SD=5 см

2. 2*(AB²+BC²)=BD²+AC² =>

3. OC=1/2*AC=

4. Рассмотрим ∆SOC (∟SOС=90 т.к. SO┴ пл. ABC => SO┴СO SO-высота)

∆SOC – прямоугольный

по т. Пифагора

SC=SA=6 см

Ответ: 5 и 6 см.

Ответ по учебника: 6, 5 см.

9. Задача № 751 (л.С. Атанасян Геометрия для 10-11 кл. 1994 г.)

Н айти объем конуса, если радиус его основания равен 6 см, а радиус вписанной в конус сферы равен 3 см.

Графический метод:

Этапы построения:

1. Строим окружность на π2.

2. Учитываем, что радиус основания конуса известен, определим место расположение основания относительно вписанной сферы.

3. Из диаметрально противоположных точек основания проводим касательные к сфере. S – точка пересечение касательных.

4. SO – искомая величина.

Ответ: V = 96π см³

Аналитический метод

Д ано:

HB=6 см

OM=R=3 см

SH-?

Решение:

1. SH=SO+OH Пусть SO=x

2. Рассмотрим ∆SOM по т. Пифагора

2. SM=SB-MB а MB=6 см (т.к ∆OHB=∆OMB OM=OH=R OB-общая и они прямоугольные) => SM=SB-6

3. 

4. Приравняем и решим уравнение:

x=5 см

2. SH=SO+OH=3+5=8 (см)

(см³)

Ответ: 8 см V=96π см³

Ответ по учебнику: 96π см³

10. Задача № 11.122 (м. И. Сканави Сборник задач по математике для поступающих в вузы 2002 г.)

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 см, 1 см, а высота 3 см. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Г рафический метод:

Этапы построения:

1. Выбираем масштаб 2,5 : 1

2. Определяем необходимые плоскости , на которые проецируем фигуру. Пусть это будут фронтальная и горизонтальная плоскости.

3. Проекции π1 и π2 не являются оптимальными, следовательно берем дополнительную плоскость π4 (она дает искомые величины диагоналей усечнной призмы).

4. Нужные величины:

ZO и OH – искомые величины

KQ – ребро плоскости (Н. В.)

Вычисления:

Ответ: 1.4 см² 5.84 см²

Ответ по учебнику: 1.37 см² 5.62 см²

11. Задача № 11.3.27

(Е.Д.Куланин 3000 конкурсных задач по математике 2004г.)

О бразующая конуса 13 см, высота 12 см. Конус пересечен приямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6 см, а до высоты 2 см. Найти отрезок прямой, заключенной внутри конуса.

Графический метод:

Этапы построения:

1. Строим конус по заданным размерам (на π1,π2).

2. На π2 отмечаем высоту, на которой находится прямая.

3. На π1 распологаем проекцию, так, что она отстоит от вершины конуса на 2 см

4. MN – искомая величина на π1.

Ответ: MN = 3 см