3.5. Влияние ограниченности полосы пропускания цепи и неравномерности ее ачх на форму выходных сигналов

3.5.1. Влияние ограниченности полосы пропускания цепи на форму передаваемых сигналов

Все реальные цепи имеют ограниченные полосы пропускания. При этом у некоторых из них в пределах полосы пропускания АЧХ равномерна (например, LC-фильтры, индуктивно-связанные контуры), у других (одиночные колебательные контуры, интегрирующие и дифференцирующие цепи и т.д.) – неравномерна.

Поэтому при анализе искажений сигналов, проходящих по этим цепям, рассматривают обычно отдельно влияние ограниченности полосы пропускания и неравномерности АЧХ на форму выходных сигналов цепи. Предположим, что цепь имеет следующий комплексный коэффициент передачи

Рис. 3.11

Соответствующие этому комплексному коэффициенту передачи, частотные характеристики цепи показаны на рисунке.

Такие характеристики имеют идеальные фильтры нижних частот. Пусть на вход такого фильтра воздействует сигнал вида

.

Реакция цепи на такой сигнал, как известно, является импульсной характеристикой цепи H(t). Определим ее, отыскав спектральную плотность выходного сигнала и воспользовавшись обратным преобразованием Фурье

.

Отсюда

Таким образом, мы попутно получили весьма важный результат - показали, что импульсная характеристика цепи и её комплексный коэффициент передачи связаны между собой преобразованиями Фурье. Эта связь широко используется для определения всех характеристик цепи и анализа их влияния на форму сигналов, передаваемых по цепи. В нашем случае

Рис. 3.12

Графики выходных сигналов при различных значениях ω_n и t₀ показаны на рисунке 3.12. Из анализа этих графиков следует, что форма входного сигнала при его прохождении через цепь с ограниченной полосой пропускания существенно исказилась. Эти искажения проявились в увеличении длительности импульса до и уменьшении амплитуды до величины К2f_n. Причем, чем уже полоса пропускания цепи, тем большими оказываются длительность выходного сигнала и его фронтов, и тем меньше его амплитуда.

На первый взгляд может показаться, что длительность сигнала может увеличиться настолько, что он будет существовать и при t<0, т.е. реакция цепи наступит раньше, чем поступило на ее вход воздействие. Однако этот вывод неправилен. Действительно, чтобы получить бесконечно большую крутизну АЧХ на частоте ω_n, необходимо включить бесконечно большое число звеньев фильтра. А при этом, естественно, время задержки сигнала в фильтре также будет бесконечно большим, чем исключается возможность его появления при t≤0.

Рассмотрим теперь особенности прохождения прямоугольного видеоимпульса через такой фильтр. Так как такой импульс можно представить в виде алгебраической суммы

то и выходной сигнал можно записать в виде суммы

Поэтому, для анализа достаточно найти только одно слагаемое этой суммы. Воспользуемся для этого предыдущими результатами, заметив, что , a цепь является линейной. В силу указанного, аналогичными соотношениями будут связаны и выходные сигналы цепи, т.е.

.

Сделаем замену переменных в полученном выражении ω_n(t-t₀)=x, тогда dx= ω_ndt, dt= dx/ω_n

Выражение известно в математике как интегральный синус, график которого имеет вид (рис. 3.13).

Рис. 3.13

Из анализа этого графика (рис. 3.13) следует, что

Отсюда

а весь выходной сигнал будет равен

Графики слагаемых сигнала, и всего сигнала в целом, показаны на рисунке 3.14.

Из анализа этих графиков следует, что ограниченность полосы пропускания цепи при ее линейной ФЧХ приводит в основном к увеличению длительности фронтов t_Ф выходного сигнала до величины

.

Рис. 3.14

Длительность же сигнала, измеренная на уровне 0,5 от максимального значения, остается без изменения. Можно считать, что сигнал будет передаваться по рассматриваемой цепи практически без искажений при условии , откуда .

Таким образом, чем шире полоса пропускания фильтра, тем больше «лепестков» спектра сигнала попадает в эту полосу, а значит, тем меньше будет искажаться сигнал в процессе прохождения через фильтр.

К таким же результатам придем и при анализе особенностей прохождения прямоугольных радиоимпульсов через идеальные полосовые фильтры.

И так, влияние ограниченности полосы пропускания цепи на форму выходного сигнала заключается в увеличении длительности его фронта, которая оказывается обратно пропорциональной ширине полосы пропускания цепи.

Пример. Рассчитать изменения фронтов прямоугольного видеоимпульса длительностью τ_И≈200мкс и прохождении его через идеальный ФНЧ с полосой пропускания f_n=7 кГц.

Решение. Длительность фронта импульса зависит от того, какая часть спектра входного сигнала проходит через идеальный фильтр. Как следует из исходных данных, видеоимпульс имеет ширину лепестка , а полоса пропускания равна f_n = 7 кГц, следовательно, большая часть спектра сигнала передается без искажений. Фильтр «отрезает» только высокочастотные составляющие спектра. Это приводит к тому, что длительность фронта относительно самого сигнала является небольшой. Её можно рассчитать по формуле

.

Как видно из рисунка 3.15, сигнал несколько «расплылся», но в целом сохранил свою форму.

Рис. 3.15