§2.4. Момент инерции.

Момент инерции тела при вращательном движении является аналогом массы при его поступательном движении, а именно, служит мерой инертности тела, т.е. его способности сопротивляться изменению скорости. Из собственного опыта нам известно, что: чем дальше вращающаяся масса от оси вращения, тем труднее ускорить или замедлить ее вращение. Момент инерции, как и масса, скалярная величина. Масса (и момент инерции) тела равна сумме масс (моментов инерции) всех его частей. По определению момент инерции тела, являющегося системой материальных точек, выражает формула:

I =m_ir_i² (2.4.1)

Здесь m_i - масса точки тела с номером i, r_i – ее расстояние от оси вращения; суммирование ведется по всем точкам тела. Единица измерения момента инерции в СИ обозначается кг^.м². Инертность тела при вращении зависит от распределения его массы относительно оси вращения, так что одно и то же тело относительно разных осей вращения имеет разные моменты инерции. Для сплошного однородного тела, рассматриваемого как совокупность м.т., с точки зрения математики удобно суммирование свести к интегрированию. Пусть dm – масса физически малого элемента объема dV ³, находящегося на расстоянии r от оси вращения, плотность вещества тела -  (кг/м³), тогда dm= dV и момент инерции этого элемента массы dI = r²dm = r² dV . Формула для вычисления момента инерции сплошного тела примет вид:

(2.4.2)

Интегрирование проводят по всему объему тела, это обозначено ниже знака интеграла.

Приведем формулы моментов инерции некоторых тел, часто встречающихся в практике.

а) Обруч или тонкостенный цилиндр массой m и радиусом R , вращающийся относительно своей оси симметрии.

I₀ =m_ir_i² = R²m_i = m R² (2.4.3)

б) Диск или сплошной цилиндр массой m и радиусом R , вращающийся относительно своей оси симметрии.

(2.4. 4)

Попробуйте вывести формулу (2.3.4): для этого диск представьте составленным из тонких колец, вставленных друг в друга. Радиусы этих колец плавно изменяются от 0 до R.

в) Шар, вращающийся относительно своей оси (эту формулу нетрудно получить интегрированием, перейдя в сферическую систему координат):

(2.4.5)

г) Стержень длиной l, вращающийся относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его середину (получите эту формулу самостоятельно):

(2.4.6)

д) Теорема Штейнера позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если известен момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр инерции тела:

I=I₀+mb² (2.4.7)

Здесь I – момент инерции тела относительно рассматриваемой оси, I₀ - момент инерции этого же тела относительно оси, проходящей через центр инерции и параллельной рассматриваемой, b – расстояние между этими осями. Обратите внимание, что наименьший момент инерции тела относительно любых параллельных осей в случае, когда ось проходит через цент инерции. Самостоятельно получите формулу для момента инерции стержня, если ось вращения проходит через его коней и перпендикулярна стержню.