3.2. Математические модели дискретного канала

Переходя к моделям дискретного канала, полезно напомнить, что в нем всегда содержится непрерывный канал, а также модем. Последний можно рассматривать как устройство, преобразующее непрерывный канал в дискретный. Поэтому, в принципе, можно вывести математическую модель дискретного канала из моделей непрерывного канала и модема. Такой подход часто является пло­дотворным, однако он приводит к довольно сложным моделям, анализ которых не входит в программу читаемой дисциплины. В данной лекции рассмотрим простые модели дискретного канала, при построе­нии которых свойства непрерывного канала и модема не учитыва­ются. Следует, однако, помнить, что при проектировании системы связи имеется возможность варьировать в широких пре­делах модель дискретного канала при заданной модели непре­рывного путем изменения модема.

Модель дискретного канала содержит задание множества воз­можных сигналов на его входе и распределение условных вероят­ностей выходного сигналу при заданном входном. Здесь входным и выходным сигналами являются последовательности кодовых символов. Поэтому для определения возможных входных сигналов достаточно указать число т различных символов (основание ко­да), а также длительность Т передачи каждого символа. Будем считать, что значение Т одинаково для всех символов, что выпол­няется в большинстве современных каналов.

В общем случае для любого п (количество символов в кодовом слове) должна быть указана вероят­ность того, что при подаче на вход канала любой заданной после­довательности B^[n] кодовых символов на выходе появится некото­рая реализация случайной последовательности . Кодовые сим­волы обозначим числами от о до m-1, что позволит производить над ними арифметические операции. При этом все последова­тельности (векторы), количество которых равно т^п, образуют т^п - мерное конечное векторное пространство, если «сложение» пони­мать как поразрядное суммирование по модулю m и аналогично определить умножение на скаляр (целое число). В случае, когда m=2, векторное пространство называется пространством Хемминга. Скалярное произведение здесь имеет вид

где - знак суммирования в обычном смысле.

Норма (длина вектора) двоичного вектора представлена выражением:

и определяется количеством содержащихся в нем единиц. Норму такого вектора называют весом вектора и обозначают обычно ω. Расстояние между векторами в пространстве Хемминга равно норме их разности:

Здесь знак означает сложение по модулю 2 (mod 2): 0 0 = 0,

1 1 = 0, 0 1 = 1, 1 0 = 1. Заметим, что сложение и вычитание по mod 2 эквивалентны.

Пример: х = 1001011

y = 0101101

х у = 1100110

В пространстве Хемминга расстояние между двоич­ными векторами равно числу позиций (элементов), кото­рыми различаются эти вектора.

В данном примере

Введем понятие вектора ошибок, под которым будем понимать поэлементную разность между принятым и пе­реданным векторами. Иными словами, при передаче по дискретному каналу вектор сигнала складывается с век­тором ошибок:

где Е ^[п] — вектор ошибок, который в дискретном канале играет такую же роль, как и помеха в непрерывном канале.

В двоичном канале при т=2 смысл вектора ошибок понимается наиболее просто. Каждая единица в этом векторе указывает на то, что именно на данной позиции в векторе сигнала произошла ошибка. Нулевая позиция в векторе ошибок свидетельствует о правильном приеме соответствующего элемента сигнала. (Необходимо отметить, что аналогичные выкладки были использованы при рассмотрении материала по кодированию) Образно говоря, переход от непрерывного канала к дискретному соответ­ствует преобразованию любой помехи в поток ошибок. При этом различные модели дискретного канала будут описываться разными распределениями вероятностей векторов ошибок.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся простей­шие модели дискретных каналов.