4. Уравнения максвелла. @

4.1. Теория Максвелла для электромагнитного поля. @

В 60-х годах XIX столетия Д.К. Максвелл, ознакомившись с работами Фарадея, решил придать теории электричества и магнетизма математическую форму. Обобщив законы, установленные экспериментальным путем – закон полного тока, закон электромагнитной индукции и теорему Остроградского-Гаусса, - Максвелл дал полную картину электромагнитного поля. В теории Максвелла решается основная задача электродинамики – установление характеристик электромагнитного поля заданной системы электрических зарядов и токов, т.е. определение напряженности электрического поля Е и индукции магнитного поля В при известных величинах зарядов и токов, создающих эти поля. Необходимо отметить, что в своих выводах Максвелл не мог воспользоваться теорией относительности, так как она появилась лишь спустя 50 лет. Не были изучены электрические свойства веществ, не была установлена связь электромагнетизма и света. Другими словами, многие из доводов, которыми пользуемся мы сейчас при теоретическом обобщении результатов, были немыслимы во времена Максвелла.

Данная теория явилась величайшим вкладом в развитие классической физики. Она позволила с единой точки зрения охватить огромный круг явлений, начиная от электростатического поля неподвижных зарядов и кончая электромагнитной природой света. В этой теории не рассматривается молекулярное строение среды и внутренний механизм процессов, происходящих в веществе, находящемся в электромагнитном поле. Теория Максвелла – макроскопическая, в ней рассматриваются электромагнитные поля таких зарядов и токов, пространственная протяженность которых неизмеримо больше размеров атомов и молекул.

Электрические и магнитные свойства среды в теории Максвелла характеризуются тремя величинами: относительной диэлектрической проницаемостью ε, относительной магнитной проницаемостью μ и удельной электрической проводимостью γ. Предполагается, что эти параметры среды известны из опыта.

Данная теория представлена в виде системы четырех уравнений, называемых уравнениями Максвелла. Эти уравнения принято записывать в дифференциальной и интегральной форме. Уравнения в дифференциальной форме показывают, как связаны между собой характеристики электромагнитного поля и плотности электрических зарядов и токов в каждой точке этого поля. В данном разделе рассмотрены только уравнения Максвелла в интегральной форме – они содержат соотношения, справедливые для мысленно проведенных в электромагнитном поле неподвижных замкнутых контуров и поверхностей.

4.2. Первое уравнение Максвелла. @

При рассмотрении неподвижного контура, находящегося в переменном магнитном поле, было установлено, что в нем появляется э.д.с. индукции .

С другой стороны, появление э.д.с., по определению, связано с работой сторонних сил неэлектростатического происхождения, и . Таким образом, можно записать

.

Под действием переменного магнитного поля в контуре возникает электрическое поле . Различие между этим полем и электростатическим заключается в том, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, а циркуляция по замкнутому контуру не равна нулю. Данное электрическое поле имеет непрерывные силовые линии, т.е. является вихревым. Оно вызывает в контуре направленное движение электронов по замкнутым траекториям. Таким образом, всякое изменение магнитного поля вызывает в окружающем пространстве появление вихревого электрического поля.

Воспользуемся выражением для магнитного потока:

Если поверхность S, которую пронзает магнитный поток, и ограничивающий ее электрический контур L неподвижны, то операции интегрирования по поверхности и дифференцирования по времени можно поменять местами. После этого мы получаем

.

В связи с тем, что вектор В зависит в общем случае как от времени, так и от координат, под знаком интеграла записывается символ частной производной В по времени (тогда как магнитный поток является функцией только времени).

Поскольку электрическое поле может быть и стационарным (электростатическим), и вихревым, то в общем случае Циркуляция стационарного поля, как известно, равна нулю, поэтому . Итак, циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна взятой с обратным знаком скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность S, ограниченную этим контуром.

Полученное уравнение - это первое уравнение Максвелла в интегральной форме. Оно показывает, что источником электрического поля могут быть не только электрические заряды, но и изменяющиеся во времени магнитные поля. Явление возникновения в пространстве вихревого электрического поля под влиянием переменного магнитного было использовано для создания индукционного ускорителя электронов – бетатрона. Бетатроны применяются в промышленности для просвечивания толстых металлических плит, в медицине - для лучевой терапии и в различных научных исследованиях.