1.6. Закон полного тока для магнитного поля в вакууме(теорема о циркуляции вектора в). @

В разделе “Электростатика” было доказано, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль замкнутого контура равна нулю, откуда следует потенциальный характер электростатического поля. Одним из основных отличий магнитного поля от электростатического поля является его непотенциальность. Для доказательства этого рассмотрим линейный интеграл от В по замкнутому пути в магнитном поле, создаваемом током, т.е.

г де – вектор элемента длины контура, направленный вдоль обхода контура; В_ℓ – проекция вектора на направление касательной к контуру. Данный интеграл называется циркуляцией вектора по заданному замкнутому контуру ℓ.

Рассмотрим частный случай: круговой путь ℓ является силовой линией радиуса R магнитного поля прямолинейного бесконечного проводника с током (рис.1.9). Магнитная индукция для этого случая была подсчитана ранее, и во всех точках окружности вектор составляет:

У гол между векторами и равен нулю, поэтому cos( , )=1. Из полученного результата следует, что циркуляция вектора магнитной индукции вдоль силовой линии прямолинейного проводника с током не равна нулю, т.е. поле такого проводника непотенциально. Оно называется вихревым. Полученная формула справедлива для любой формы замкнутого контура, охватывающего проводник с током.

Пусть теперь наш контур ℓ произвольной формы охватывает n проводников с токами I₁, …I_n. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. При этом положительным считается ток, если он с направлением обхода контура образует правовинтовую систему. Ток противоположного направления считается отрицательным.

Р азберем пример, изображенный на рис.1.12. Найдем сумму токов, т.е. полный ток, охватываемый контуром ℓ:

Т ок I₃ не учитывается, т.к. он не охватывается контуром. В результате имеем

Таким образом, циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

Данное выражение представляет собой закон полного тока для магнитного поля в вакууме, или теорему о циркуляции вектора В.

Все вышерассмотренное относится к вакууму. Можно доказать, что циркуляция вектора вдоль замкнутого контура, не охватывающего проводник с током, равна нулю.

Рассмотренная нами теорема имеет в магнитостатике такое же значение, как теорема Гаусса в электростатике. Она позволяет находить магнитную индукцию различных полей без применения закона Био-Савара-Лапласа.

1.7. Поток вектора магнитной индукции. Теорема Гаусса для магнитного поля. @

А налогично определению электрического потока, или числа силовых линий Е, пересекающих поверхность S, определим магнитный поток, поток вектора магнитной индукции, или число силовых линий , пересекающих поверхность S. Потоком вектора магнитной индукции через элементарную площадку dS называется физическая величина dФ_m, равная произведению величины этой площадки и проекции вектора В на направление нормали к площадке dS (рис. 1.13):

Интегрируя это выражение по S, получим магнитный поток Ф_m сквозь произвольную замкнутую поверхность S: .

Для однородного поля и плоской поверхности, расположенной перпендикулярно В, поток рассчитывают по формуле Ф = ВS, из которой можно определить единицу магнитного потока, которая называется вебер (Вб). 1 Вб – это такой магнитный поток, который проходит через плоскую поверхность площадью 1 м², расположенную перпендикулярно магнитному полю, индукция которого равна 1Тл: 1Вб=1Тл∙1 м².

Мы уже знаем, что силовые линии магнитного поля замкнуты. Поэтому, интеграл ∫ Вds по любой замкнутой поверхности должен быть равен нулю, так как внутрь поверхности входит тот же поток, что и выходит из нее. Если имеется k токов, то создаваемый ими магнитный поток: З десь В_n - проекция В на нормаль к ds. Поскольку каждый интеграл по отдельности равен нулю, то и

в ышеизложенное составляет суть теоремы Гаусса для потока магнитного поля Ф_m. Поток магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю. Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.