Раздел 5. Дифференциальное исчисление.

5.2. Исследование функции с помощью производной Признаки возрастания и убывания функции

Теорема 1. Если функция f имеет положительную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция возрастает на этом ин­тервале.

Теорема 2. Если функция f имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а, b), то эта функция убывает на этом интервале.

Замечание. Если функция f монотонна на интервале (а, b) и непре­рывна в точках а и b, то она монотонна на отрезке [а, b]. Интервалы, в которых функция возрастает или убывает, называются интервалами монотонного изменения функции.

Мы предположили, что наша функция и ее производная непрерыв­ны, а значит они меняют знаки с «-» на «+» или с «+» на «-» только при переходе через нуль, т. е. в тех точках, в которых интервал убывания сменяется интервалом возрастания, (в которых у' = 0). В этих точках мгновенная скорость изменения функции равна нулю. Точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю, бесконечности или не существует, называются критическими. На рис. 1 имеются три критические точки а, с, е.

Пример 1. Найти интервалы монотонного изменения функции

Решение. Найдем производную функции: y' = x² + 5x + 6.

Эта функция непрерывна. Что­бы найти критические точки, при­равняем производную к нулю и найдем корни полученного уравнения:

у' = х² + 5х + 6= 0 у' = (х + 3)·(х + 2) = 0 х₁ = - 3; х₂ = - 2.

Разобьем числовую прямую на интервалы: (- , -3); (-3, -2); (-2, + ).

Определим знак производной в каждом из интервалов. Учиты­вая, что в силу непрерывности функция у' в каждом интервале не меняет знака (см. таблицу), мо­жем построить график данной функции (рис. 2).

x	(- , -3)	-3	(-3,-2)	-2	(-2, + )
y’	+		-		+
Y	в озрастает		у бывает		в озрастает
		max		min

Рассмотрим случай, когда на отрезке [а, b] производная функции равна нулю. Это означает, что функция у = f(x) постоянна на этом от­резке.

Если функции f(х) и φ(х) имеют на отрезке [а, b] равные производ­ные f '(x) = φ'(х), то они отличаются на этом отрезке лишь постоянным слагаемым.

Экстремумы функции

Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки х, называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение — максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.

Определение 1. Точка х₀ из области определения функции f называ­ется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрест­ность (х₀ - δ, х₀ + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точкой х₀,

f(x) > f(x₀). (47)

Определение 2. Точка х₀ из области определения функции f называ­ется точкой максимума этой функции, если у этой точки есть окре­стность (х₀ - δ, х₀ + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точ­кой х₀,

f(x) < f(x₀). (48)

Максимумы и минимумы называются экстремумами функции.

Замечание. Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экс­тремумы называются локальными экстремумами.

У непрерывной функции точки минимума и максимума обязатель­но чередуются.