Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба.

Исследование функции на экстремум и определение его типа (мак­симум или минимум) во многих случаях проще выполняется не путем анализа перемены знака производной при ее прохождении через крити­ческую точку, а с помощью второй производной.

Определение 1. Непрерывная линия называется выпуклой или обра­щенной выпуклостью вверх на отрезке [а, b], если все точки этой линии ле­жат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две ее точки (рис. 4. а).

Аналогично, вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) называет­ся линия, проходящая ниже (не выше) своих хорд (рис. 4, б).

Рис. 4.

Замечание. В некоторых руководствах выпуклость и вогнутость иногда определяются противоположным образом.

Определение 2. Точки, отделяющие выпуклые участки линии от вогнутых (и наоборот), называются точками перегиба.

Теорема. Если вторая производная функции у = f(х) в данном проме­жутке значений х положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна — выпукла.

Точками перегиба являются те точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Линия называется выпуклой (или вогнутой) в точке, если значе­ние ее второй производной в данной точке меньше (или больше) нуля.

Пример 1. Выяснить, выпуклая или вогнутая линия у = 3x³ + 8 в точке с абсциссой х = 3.

Решение. Находим производные у' = 6х² и у" = 12х. В точке х = 3 имеем:

у"(3) = 12 • 6 = 36 > 0. Значит, в точке х = 3 данная линия вогнута.

Нахождение точки перегиба

Чтобы исследовать функцию на вогнутость, необходимо опреде­лить знак второй производной. Если на данном промежутке f "(х) < 0 для всех х, то линия вогнута, если f "(х) > 0 для всех х, то линия выпукла. Выпуклую часть кривой от вогнутой отделяет точка перегиба.

Правило нахождения точек перегиба

Чтобы найти точку перегиба линии у = f(х), нужно:

1. Найти вторую производную функции у = f(х).

2. Приравняв ее к нулю, решить полученное уравнение.

3. Расположив корни второй производной х₁, х₂, х₃, ... в порядке их возрастания, подставить в выражение для второй производной сначала лю­бое число, меньшее х₁ затем — любое число

х (х_1, х₂); если в обоих слу­чаях получатся разные знаки, то при х = х₁ имеется точка перегиба; если же одинаковые, то точки перегиба нет; аналогично определяется знак второй производной и далее аналогично поступить с числами х₂, х₃ и т. д.

4. Найти ординаты точек перегиба, т. е. найти значения функции в соответствующих точках.

Пример 1. Найти точки перегиба линии f(х) = х³.

Решение. Находим: f '(х) = Зх²; f "(х) = 6х; 6х = 0 => х = 0; f(0) = 0.

Следовательно, A (0;0) – точка перегиба.

Пример 2. Найти точки пере­гиба линии у = х ⁴ - 2х² - 3.

Решение. 1) у' = 4х³ - 4х; у" = 12х² - 4.

2) у" = 0 => 12х² = 4; х = ± .

3) При |х| > имеем у" > 0 — линия вогнута; при |х| < имеем у" < 0 — линия выпукла. Точки ± являются точками перегиба (рис. 7).

Асимптоты графика функции.

Определение 1. Асимптотой графика функции y = f (x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки M(x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Определение 2. Прямая x = x_o называется вертикальной асимптотой графика функции

y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов f(x_о– 0) = (предел слева) или f(x_о + 0) = (предел справа) равен + или - (см. рис. 8).

Определение 3. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции y = f(x) при x + если функцию y = f(x) можно представить в виде

f(x) = kx + b + a(x),

где a(x) при x

При x наклонная асимптота называется правой, а при x - левой. При k = 0

асимптота называется горизонтальной.

Теорема. Для того чтобы график функции у = f(x) имел при наклонную асимптоту y = kx + b, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

и .

Пример 2. Рассмотрим функцию y =

Так как y = f(x) = x + 2 + , где a (x) = при x , то прямая у = x + 2 является левой и правой наклонной асимптотой графика функции.

Замечание. Для рациональной функции (отношение двух многочленов) левая и правая асимптоты совпадают.