Тема 4. Средние величины

4.1. Сущность средних величин. Две формы средних величин.

4.2. Средняя арифметическая и средняя гармоническая, примеры их расчета.

4.3. Средняя гармоническая величина.

4.4. Структурные средние величины.

4.1. Сущность средних величин. Две формы средних величин.

Средняя величина – показатель, который дает обобщающую характеристику варьирующего признака однородной совокупности.

Свойства средней величины:

1. Средняя характеризует всю совокупность в целом, а не отдельные ее величины, т.е. она отражает то общее, что присуще всем единицам статистической совокупности.

2. Средняя величина отражает типичный уровень признака и абстрагируется от индивидуальных особенностей, присущих отдельным единицам.

3. В средней величине поглощаются все случайности.

Типичность средней непосредственно связана с однородностью совокупности. Чем более однородна совокупность, тем более надежной величиной является ее средняя величина. Если совокупность не однородна, то используют метод группировок и в каждой выделенной группе вычисляют среднюю величину. Таким образом, групповые средние дополняют общую среднюю величину.

Определить среднюю во многих случаях можно через исходное соотношение средней (ИСС) или ее логическую формулу:

Общая формула степенной средней простой:

(4.1.1.) (Для несгруппированных данных)

Общая формула степенной средней взвешенной:

(Для сгруппированных данных) (4.1.2.)

В зависимости от экономического содержания определенного показателя и исходных данных в статистике наиболее часто применяются средние величины:

Виды степенных средних	Формула	Условия применения
Средняя арифметическая простая показатель степени z=1		Исходные данные не упорядочены, простой перечень единиц совокупности fI = 1
Средняя арифметическая взвешенная показатель степени z=1		Исходные данные заданы дискретным или интервальным рядом распределения fi ≠ 1
Средняя гармоническая: простая (невзвешенная) показатель степени z = -1		Исходные данные заданы обратными значениями признака
Средняя гармоническая: взвешенная показатель степени z =-1	сложный вес;	Исходные данные заданы значениями осредняемого признака хi и объемом осредняемого признака Mi : Mi = хifi
Средняя квадратическая: простая (невзвешенная) показатель степени z =2		Используется для расчета среднего квадратического отклонения σ, если данные не упорядочены
Средняя квадратическая взвешенная показатель степени z =2		Используется для расчета среднего квадратического отклонения σ, если данные упорядочены
Средняя геометрическая: простая (невзвешенная) показатель степени z =0		Используются для расчета средних темпов роста, если данные заданы цепным темпами роста
Средняя геометрическая взвешенная показатель степени z =0		Значения признака заданы моментным рядом динамики с равноотстоящими датами

Правило мажорантности (старшинства) средних величин: степенные средние разных видов, исчисленные по одной и той же совокупности, имеют различные количественные значения: чем больше показатель степени " ", тем больше величина соответствующей средней.

(4.1.3.)

Для иллюстрации мажорантности рассмотрим пример.

Студент ВУЗа получил в течение семестра всего две оценки: "3" и "2". Требуется рассчитать степенные средние всех видов и с их помощью проверить действие правила мажорантности.

1) (балла)

2) (балла)

3) (балла)

4) (балла)

2,55 > 2,50 > 2,45 > 2,41

4.2. средняя арифметическая и средняя гармоническая, примеры их расчета

_{(4.2.1) средняя арифметическая простая}

_{(4.2.2) средняя арифметическая взвешенная}

Важнейшие свойства средней арифметической: