7.2.Работа силы

Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох от точки х=а, до х=b (а<b) под действием переменной силы F=F(x),причём направление силы совпадает с направлением движения. Найти работу, произведенную силой на этом перемещение. Возьмём элементарное перемещение [x,x+dx].Работа силы на этом перемещение

Мы получим «элемент» работы. Теперь проинтегрируем по отрезку[a,b] и получим искомую работу:

7.2.1. Тело движется по прямой из точки с абсцис­сой a до точки с абсциссой b(a<b) под действием переменной силы , являющейся непрерывной функцией абсциссы х: = (х), причем сила параллельна прямой , а ее направление совпа­дает с направлением движения тела. Найти работу A, произве­денную силой (х)на этом перемещении.

Решение. Если бы сила (х) была не переменной, а постоян­ной, параллельной прямой Ох, и ее направление совпадало с на­правлением движения тела, то работа A, произведенная ею, была бы равна произведению модуля силы на пройденный путь, т. е. на длину отрезка [а,b], равную (b—а):

A = F(b— а).

Но сила переменна, а потому этой формулой для определения работы мы воспользоваться не можем.

Отрезок [а,b] разделим на п отрезков [x_k-1 x_k] (k=l,2,3, ...,n). На каждом из них выберем произвольную точку . Определим в этой точке численное значение силы (х) Получится число ( ). Полагая, что в пределах каждого частичного отрезка сила не переменна, а постоянна и что ее значение на всем час­тичном отрезке такое же, как в выбранной точке, будем считать произведенную этой силой работу приближенно на каждом час­тичном отрезке равной произведению модуля силы на путь, т. е. ( )∆x_k

Работа силы (х) на всем отрезке [а, b] приближенно равна сумме работ на всех частичных участках

Сумма — интегральная сумма для функции F(x). на отрезке [а,b]. По формуле (11,4) мы получим не точное зна­чение работы, а приближенное, потому что на каждом частичном отрезке мы считали силу постоянной, в то время как фактически в пределах каждого частичного отрезка она непрерывно изме­няется.

За точное значение работы силы на отрезке [а,b] мы примем тот предел, к которому стремится интегральная сумма (11,4), когда наибольший из частичных отрезков ∆x_k стремится к нулю, а число их n неограниченно возрастает, т. е.

(11.5)

Подынтегральное выражение F(х)dx называется элементарной работой и обозначается через δА

Работа А есть определенный интеграл от элементарной работы δА= F(х)dx. Таким образом, для определения работы перемен­ной силы на прямолинейном пути надо сначала вычислить эле­ментарную работу δА, а после этого интегрированием по формуле (11,5) найти полную работу.

Приближенное значение работы, вычисленное по формуле (11,4), будет тем меньше отличаться от ее точного значения (11,5), чем меньшими будут частичные отрезки ∆x_k, на которые разбит отре­зок [а,b] .

При определении предела суммы (11,4) наибольший из отрез­ков ∆x_k→0, каждое слагаемое ( )∆x_k — величина бесконечно малая, а количество их неограниченно возрастает. Поэтому и здесь определение искомой величины, как и в задаче 11,1 связано с оп­ределением предела суммы бесконечно малых величин, когда их количество неограниченно возрастает.

7.2.2. Какую работу надо совершить, чтобы растянуть пружину на 4 см, если известно, что от нагрузки 1 Н она растягивает на 1 см?

Решение.

Согласно закону Гука сила F Н, растягивающая пружину на х м, равна .Коэффициент пропорциональности найдём из условия :

Если х=0,01м, то F=1Н;

Следовательно, и

.Тогда

7.2.3.Растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину модно растянуть пружину, совершить работу в 80 Дж?

Решение.

По длине растяжения пружины на 0,04м и совершенной работе 20 Дж найдём:

k:

,

Откуда

По и найдем :

где -длина, на которую растянута пружина при совершенной работе в 80 Дж.

Откуда

7.2.4.Ккаую работу нужно затратить, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли на высоту h?Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность?

Решение. Величина сила F ,производящей работу при поднятие тела с поверхности земли, равна величине сила притяжения тела Земли, т.е.

,

где m-масса тела,M-масса Земли,r-расстояние от тела до центра Земли. В этом же направлении происходит и перемещение тела из положения (R-радиус Земли) в положение .Работу силы F(r) на пути [R,R+h] вычислим с помощью интеграла

Учитывая, что на поверхности Земли(при ) сила притяжения найдём коэффициент :

откуда

Тогда и

7.2.5.Вычислить работу, которую надо совершить, чтобы выкачать воду из резервуара конической формы с вершиной, обращенной к низу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основания конуса R=1, высота конуса 2м.

Решение. На глубине х выделяем горизонтальный слой высоты dx

Элементарный слой принимаем за цилиндр ввиду малости dx.Тогда

Выразим r-радиус слоя через х и постоянные R и H. Из подобия треугольников АОС и АО₁В имеем:

откуда

Далее получим

Дж

7.2.6. Шар лежит на дне бассейна глубиной Н=14мюОпределить работу, необходимую для извлечения шара из воды, если его радиус R=3дм,а удельный вес .

Решение.

При подъеме шара до поверхности воды сила P₁ совершающая работу, постоянна и равна разносим между весом шара и весом вытесняемой им воды:

Поэтому работа Q₁, необходимая для поднятия шара до поверхности воды, определяется как произведение силы P₁ на высоту подъема H-2R:

При дальнейшем подъеме шара сила p,совершающая работу, будет изменяться в зависимости от высоты х надводной части шара

где -вес шара , вес воды, вытесняемой подводной частью шара, численно равный объему шарового сечения с высотой ;

Очевидно, и работа, совершаемая силой p(x), некоторой функцией g(x).Допуская, что при подъёме шара ещё на малую высоту dx сила p(x) остается неизменной, найдем приближенную величину приращения работы.

Интегрируя dq в пределах от x=0 до x=2R найдем работу ,которою надо совершить, чтобы шар, поднятый со дна бассейна до поверхподнятой воды, полностью извлечь из воды:

Вся искомая работа

7.2.7. Какую работу затрачивает подъемный кран при извлечении железобетонной надолбы со дна реки глубиной в 5 м, если надолба имеет форму правильного тетраэдра с ребром 1м,а плотность железобетона 2500 кг/м³

Решение. Высота тетраэдра объем тетраэдра

м³.Вес надолбы в воде

Н,

Поэтому работа на извлечение надолбы до момента появления на поверхности воды её вершины

Дж

Теперь найдем работу А₁ на извлечение надолбы из воды. Пусть вершина тетраэдра вышла на высоту 5+у,

Тогда объем малого тетраэдра, вышедшего из воды, равен а вест тетраэдра

Н

Следовательно

7.2.8. (работа упругой силы на прямолинейном пере­мещении).

К телу прикреплена пружина, другой конец которой закреп­лен неподвижно в точке О. Упругая сила, с которой действует пружина на тело, подчиняется закону Гука, согласно которому F=—kx, где k—коэффициент пропорциональности, а х — удли­нение пружины. Найти работу упругой силы на прямолинейном перемещении по линии действия силы из точки с абсциссой a в точку с абсциссой b. (Сила — в килограммах, перемещение — в метрах). Знак минус в выражении силы показывает, что упру­гая сила стремится восстановить равновесие.

Решение. Элементарная работа δА силы упругости на пере­мещении dx равна

dA=—kx dx,

а потому полная работа на перемещении из точки а в точку b определится по формуле

Следует иметь в виду, что работа упругой силы положительна, если тело движется в сторону убывания модуля упругой силы, и отрицательна, когда движение происхо­дит в сторону возрастания модуля упру­гой силы.

7.2.9. Тяжелая цепь длиною L = 200 м поднимается, навиваясь на ворот. Определить работу силы веса при поднятии цепи, пренебрегая размерами ворота, если погонный метр цепи весит 50 кг.

Решение. Пусть к некоторому моменту времени на ворот навернулся отрезок цепи длиной х. Тогда свешивается его часть длиной L—х. Весит эта часть (L—х)•50кг. Элементарная работа силы веса на перемещении dx будет равна

δА=—(L—х)∙50dx.

(Знак минус поставлен потому, что сила веса направлена проти­воположно перемещению). Полную работу найдем по формуле (11,5) как интеграл от элементарной работы

7.2.10. Вычислить работу, необходимую для выкачивания масла из вертикального цилиндрического резервуара высотой H = 6м и радиусом основания R = 2 м. Удельный вес масла δ = 0,9.

Решение. Величина работы q, затрачиваемой на поднятие некоторого тела, зависит от высоты х его подъема: q=Px, Р— вес тела.

Допустим, что работа, затраченная на выкачивание из резер­вуара слоя масла толщиною х, черт. 1 , есть некоторая функ­ция q (x) и найдем дифференциал этой функции. При увеличении х на величину dx объем v слоя масла уве­личится на величину ∆υ = π R²dx, его вес р увеличится на вели-

Черт. I

чину ∆p=πδR²dx, а затраченная работа q увеличится на вели­чин у ∆q ≈ πδR² х dx = dq.

Всю искомую работу Q получим при изменении х от 0 до H. Поэтому

7.2.11. Цилиндр высотой Н= 1,5 м и радиусом R = 0,4м, напол­ненный газом под атмосферным давлением (10330кГ/м²), закрыт поршнем. Определить работу, затрачи­ваемую на изотермическое сжатие газа при перемещении поршня на расстояние h = 1,2 м внутрь цилиндра.

Решение. При изотермическом из­менении состояния газа, когда его температура остается неизменной, зависимость между объемом υ и давлением р газа выражается

формулой pυ= с = const.(Закон Бойля-Мариотта)

Поэтому, если поршень будет вдвинут на х м внутрь цилиндра (черт: 1 '), то давление р(х) газа на единицу площади поршня будет

Полагая, что работа, затрачиваемая при вдвижении поршня на х м, есть некоторая функция q{x), .и допуская, что при дальнейшем вдвижении поршня. на малое расстояние dx испыты­ваемое им давление Р(х) остается неизменным, найдем, прибли­женную величину приращения (дифференциал) функции q(x):

∆q ≈ Р (х)dx = dx = dq.

Всей искомой работе Q соответствует .изменение х от 0 до h, поэтому

При H=1,5м, R = 0,4м, h ~= 1,2 м, = 10 330 кГ/м² най­дем v₀ = πR²H=0,24πм³; c = p₀v₀ = 2479,2π; Q ≈ 12533,3 кГм ≈122951,7 дж.

7.2.12. Сжатие S винтовой пружины пропорционально приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия её на 1 см нужна сила в 1 кг (Рис. 245).

Р ешение. Сила F и перемещение S связаны по условию зависимостью F = kS, где k – постоянная.

Будем выражать S в метрах, F – в килограммах. При S = 0.01 F = 1, т. е.

1 = k · 0.01, откуда k = 100, F = 100S.

На основе формулы (1) имеем:

7.2.13. Сила F, с которой электрический заряд e₁ отталкивает заряд e₂ (того же знака), находящийся от него на расстоянии r, выражается формулой

,

где k – постоянная.

Определить работу силы F при перемещении заряда e₂ из точки A, отстоящий от заряда e₁ на расстоянии r₁ в точку A₂, отстоящую от e₁ на расстоянии r₂, полагая, что заряд e₁ помещен в точке A₀, принятой за начало отсчета.

Решение. По формуле (1) имеем:

При r₂ = ∞ получим:

При e­­­­­­­­­­­­­­₂ = 1 . Последняя величина называется потенциалом поля, создаваемого зарядом e₁.