22. Изобразите цикл Карно в осях (u,s), где u – внутренняя энергия газа; s – энтропия.

Решение:

Цикл Карно в осях (P,V): процессы (1→2) и (3→4) – изотермы, при температурах, соответственно, Т и Т (Т > Т ). Внутренняя энергия идеального газа U = C T (C – теплоемкость при постоянном давлении). Следовательно, изотермы (1→2) и (3→4) изобразятся горизонтальными отрезками U = const, U = const (U > U ) – на рисунке 2.

Адиабаты (2→3) и (4→1) на рисунке 1 изобразятся вертикальными отрезками S = const, S = const (S > S ), т.к. адиабатический процесс – это процесс при постоянной энтропии (изэнтропа). Цикл Карно на рисунке 2 – прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат. Состояние (1) – при большей температуре и меньшей энтропии, т.к. в процессе (1→2) к системе подводится тепло Q > 0, т.е. энтропия возрастает. Состояние (2) – большая температура и большая энтропия. И т.д.

23. Килограмм кислорода первоначально заключен в объеме V = 0,200 м под давлением p = 5,00∙10 Па. Затем газ расширился ,в результате чего объем газа стал равным V = 0,500 м , а давление p = 2,00∙10 Па. Определить приращение:

а) энтропии газа ΔS;

б) внутренней энергии ΔU.

m = 1 кг V = 0,200 м p = 5,00∙10 Па V = 0,500 м p = 2,00∙10 Па	Кислород – двухатомный газ, следовательно, число степеней свободы молекулы i = 5. молярная масса кислорода μ = 32 г/моль. Запишем определение энтропии: . (1) Первое начало термодинамики: . (2)
ΔS – ? ΔU – ?

Подставим (2) в (1):

. (3)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона найдем :

; .

Тогда:

. (4)

Подставим (4) в (3) и получим:

.

Отношение можно найти следующим образом: запишем уравнения Менделеева-Клапейрона для начального и конечного состояний газа:

; (А)

. (В)

Разделим (В) на (А):

.

Окончательный результат:

. (5)

Подставляя численные значения в (5), обнаруживаем, что (0,200∙5,00∙10 = 0,500∙2,00∙10 ), т.е – температура газа не изменилась, не изменилась, следовательно, и внутренняя энергия ( ) газа, ΔU = 0. вычислим ΔS по формуле (5):

.

23. Сосуд разделен на две равные части перегородкой с закрытым пробкой отверстием. В одной из половин сосуда содержится моль идеального газа, в другой половине сосуда – вакуум. Пробку удаляют и газ распространяется на весь объем. Считая процесс адиабатическим, определить:

а) приращение внутренней энергии газа ΔU;

б) приращение энтропии газа ΔS.

V = 2V	При расширении идеального газа в пустоту работа газа А = 0. Из первого начала термодинамики Q = ΔU+A для адиабатического процесса следует ΔU = 0. (1)
ΔU – ? ΔS – ?

2. Изменение энтропии – по определению:

; (2)

Запишем для δQ первое начало термодинамики:

(3)

Расширение даже идеального газа в пустоту – процесс необратимый, т.е. ΔS > 0. Подставим (3) в (2) с учетом (1):

. (4)

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для моля идеального газа (pV = RT) найдем:

; (5)

Подставим (5) в (4):

.

23. Имеется сосуд, разделенный перегородкой на две части. В одной из них находится ν молей одного газа, в другой – ν молей другого газа. Оба газа идеальные. Температура и давление обоих газов одинаковые. Перегородки убирают и газы полностью перемешиваются. Найти приращение энтропии ΔS.

p = p T = T ν ν	Первоначально первый газ занимал объем V , второй газ – объем V . Когда убирают перегородку, объем каждого газа становится V + V . Изменение энтропии, по определению, ; (1)
ΔS – ?

Первое начало термодинамики:

(2)

Внутренняя энергия газа U = C T (C – теплоемкость при постоянном давлении), а т.к. T не меняется,

. (3)

Подставим (2) в (1) с учетом (3):

. (4)

Найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона pV = νRT:

; (5)

Подставим (5) в (4):

. (6)

26. Найти приращение энтропии ∆S при превращении массы m=1,00 кг пара, находившегося при температуре 100°C, в воду и последующем охлаждении воды до температуры 20°С. Теплоемкость воды считать не зависящей от температуры. Конденсация происходит при давлении, равном 1 атм.

m=1,00кг t1=100°C t2=20°C p=1 атм Cводы=4,2 r=2250	Превращение пара при температуре t1 в воду температурой t2 описывается двумя процессами: 1) Конденсация пара при t1; 2) Охлаждение воды от t1 до t2. Изменение энтропии по определению (1)
∆S−?

1)Конденсация пара идет при постоянной температуре, т.е.

(2)

Где Q₁ – количество тепла, выделившегося при конденсации, Q₁= −mr (r – удельная теплота преобразования). Соотношение (2) примет вид:

(3)

2) При охлаждении жидкости температура воды меняется, δQ₂=mcdT, - количество тепла, отданного при понижении температуры на dT. Соотношение (1) примет вид

(4)

Так как T₂<T₁, очевидно, что ∆S₂<0, объединим (3) и (4):

(5)

Учтем, что T₁=(t₁+273)K; T₂=(t₂+273)K. Подставив численные значения в (5), получим ∆S= −7,0 − энтропия системы понижается (S₂<S₁), так как при конденсации пара и охлаждении воды система отдает тепло.

26. Найти приращение энтропии ∆S при превращении массы m=200 г льда, находившегося при температуре −10,7°C, в воду при 0°С. Теплоемкость льда считать не зависящей от температуры. Температуру плавления принять равной 273К.

m=200г t1= −10,7°С t2=273K сл=2,1 λ=333	Изменение энтропии ∆S=∆S1+∆S2 , (1) где ∆S1 – изменение энтропии при нагревании льда от t1 до 0°С (273К); ∆S2 – изменение энтропии при таянии льда при температуре 0°С. Изменение энтропии по определению: (2)
∆S−?

1)Нагревание льда идет с изменением температуры, при этом количество тепла, необходимое для повышения температуры на dT, равно δQ=mcdT (с_л – удельная теплоемкость льда).Соотношение (2) примет вид:

(3)

2) Плавление льда идет при постоянной температуре T₂, соотношение (2) примет вид:

(4′)

где Q_пл = mλ – количество тепла, необходимое для плавления массы m при температуре плавления (λ – удельная теплота плавления). Соотношение (4′) примет вид:

(4)

Подставим (3) и (4) в (1):

(5)

Подставим в (5) численные значения, учитывая, что Т₁=(273−10,7)К:

∆S=260 ‒ энтропия системы увеличилась, так как к системе подводили тепло.

26. В ограниченном интервале температур приращение энтропии некоторого вещества пропорционально приращению температуры: ∆S=α∆T. Как зависит от температуры теплоемкость С вещества в том же интервале?

∆S=α∆T	По определению изменение энтропии (1)
С(Т)−?

Для малого приращения dS можно записать

(2)

По условию задачи

. (3)

Приравниваем правые части (2) и (3):

(4)

Теплоемкость, по определению,

(5)

Из (4) получаем

− теплоемкость линейно зависит от температуры.

26. Найти статистический вес (термодинамическую вероятность) наиболее вероятного распределения N одинаковых молекул по двум одинаковым половинам сосуда. Рассмотреть случаи N=10, N=6, N=2.