- •1.1.2. Неопределенный интеграл
- •4. Определенный интеграл
- •4.2. Свойства определенного интеграла
- •4.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •4.4. Формула Ньютона-Лейбница
- •4.5. Геометрический смысл определенного интеграла
- •4.6. Теорема о среднем для определенного интеграла
- •5. Методы вычисления определенного интеграла
- •5.2. Интегрирование по частям
- •6. Приложения определенного интеграла
- •6.1. Площадь плоских фигур
- •6.2. Объем тела в ращения
- •3. Длина дуги
1.1. Первообразная и неопределенный интеграл
Интегральное исчисление решает обратную задачу по отношению к дифференциальному исчслению: по данному дифференциалу, а следовательно, и производной неизвестной функции F(x), требуется определить эту функцию.
Пусть известна функция f(x) и нужно по данной функции определить F(x) таким образом, чтобы
dF(x) = f(x)dx
или соответственно . (1.1)
Для простоты будем предполагать, что равенство (1.1) выполнено на некотором промежутке (конечном или бесконечном).
Определение 1.1. Пусть функция f определена на некотором промежутке, т.е. на отрезке, интервале или полуинтервале числовой оси. Функция F, определенная на этом же промежутке называется первообразной функции f , если выполнено (1.1) для каждого х из указанного промежутка.
Очевидно, что если F является первообразной для f на <a,b>, то функция F+ C (C-Const ), также является первообразной для f на <a,b>.
Действительно,
[F(x) + C]' = F'(x) = f(x), х <a,b>. (1.2)
ф
1.1.2. Неопределенный интеграл
В дальнейшем мы будем предполагать, если явно не оговорено противное, что рассматриваемая функция f(х) определена и непрерывна на некотором конечном или бесконечном промежутке <a,b>.
Введем теперь основное понятие интегрального исчисления - понятие неопределенного интеграла.
Определение 1.2. Совокупность всех первообразных функции f, определенных на некотором промежутке <a,b>, называется неопределенным интегралом от функции f на этом промежутке и обозначается
.
- называется функцией общего вида, дифференциал которой равен подынтегральному выражению f(x)dx, и, следовательно, производная по переменной х равна подынтегральной функции f(x) во всех точках <a,b>.
Геометрически неопределенный интеграл
y = F(x) + C
представляет собой семейство “параллельных” к ривых.
Рис. 3.2
Метод замены переменной
Основные понятия и теоремы
Т е о р е м а 2 . Пусть функция x = ϕ(t) определена и дифференцируема на промежутке T,
а промежутокTX − множество ее значений. Пусть функция y = f(x) определена на X и
имеет на этом промежутке первообразную F(x).
Тогда на промежутке TT функция F(ϕ(t)) является первообразной для функции f(ϕ(t))ϕ /(t).
Из теоремы 2 следует, что
∫ f(ϕ(t))ϕ/(t) dt = F(ϕ(t)) + C, (1) а так как F(ϕ(t)) + C = (F(x) + C)|x = ϕ(t) = ∫ f(x) dx|x = ϕ(t)
, то равенство (1) можно записать ввиде ∫ f(x) dx|x = ϕ( )t = ∫ f(ϕ(t))ϕ'(t) dt. (2)
Равенство (2) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Если функция x = ϕ(t) имеет обратную функцию t = ϕ −1 (x) то из равенства (2) следует
∫ f(x) dx = ∫ f(ϕ(t))ϕ/(t) dt|t = ϕ−1( )x . (3)
Эта формула является основной рабочей формулой при вычислении интеграла ∫ f(x) dx
1.1.3. Основные свойства неопределенного интеграла
Основываясь на формуле (2.2), выведем основные свойства.
1. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции.
,
. (1.5)
2. Неопределенный интеграл от дифференциала непрерывно дифференцируемой функции равен самой этой функции с точностью до постоянного слагаемого.
В самом деле, пусть
,
где /(х) - непрерывна. Тогда (х) очевидно является первообразной для /(х). Поэтому
.
Замечание. В формулах (1.4) и (1.5) знаки и d, следующие друг за другом в том или ином порядке, взаимно уничтожают друг друга, если не считать константы.
(то есть интегрирование и дифференцирование являются взаимно обратными математическими операциями).
3. Отличный от нуля постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного интеграла.
Ecли k = const, тогда
.
Д о к а з а т е л ь с т в о: Пусть f(x) имеет первообразную F(x)+C.
Рассмотрим kF(x)+kC - первообразная, тогда kF(x)+kC/= kF/(x)+0=kf(x), так как F/(x)=f(x) с точностью до константы.
4. (Аддитивность интеграла относительно функций). Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов от этих функций.
Пусть
, , и, следовательно,
, , .
Положим F=F1+F2-F3, тогда
, то есть F является первообразной для f1 + f2 - f3, поэтому
.
.
в) Метод интегрирования по частям
Пусть u и v - непрерывно дифференцируемые функции от х.
d(uv) = udv + vdu.
Отсюда
udv=d(uv)-vdu.
Интегрируя обе части этого уравнения, получим
или
.
Пример.
1. .
2. .
Интегрирование простейших рациональных дробей.
Если P(z) и Q(z) – многочлены в комплексной области, то - рациональная дробь. Она называется правильной, если степень P(z) меньше степениQ(z), и неправильной, если степень Р не меньше степени Q.
Любую неправильную дробь можно представить в виде: ,
где
P(z) = Q(z) S(z) + R(z) a R(z) – многочлен, степень которого меньше степени Q(z).
Таким образом, интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию многочленов, то есть степенных функций, и правильных дробей, так как является правильной дробью.
Определение 5. Простейшими (или элементарными) дробями называются дроби следующих видов:
1) , 2) , 3) , 4) .
Выясним, каким образом они интегрируются.
1)
2)
3) .
Теорема 5. Всякую правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей (без доказательства).
Следствие 1. Если - правильная рациональная дробь, и если среди корней многочлена будут только простые действительные корни, то в разложении дроби на сумму простейших дробей будет присутствовать лишь простейшие дроби 1-го типа:
2.5. Интегрирование тригонометрических функций
1. Универсальная замена
Рассмотрим интеграл вида
. (2.11)
Подстановка сводит интеграл (3.1) к интегралу от рациональной дроби.
,
,
то есть х = 2arctgu, ,
поэтому
. (2.11\)
Пример.