4.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

 

         Пусть f(x) интегрируемая на  a,b. Тогда по свойству (2) она интегрируемая на любом отрезке а,х, где а х b, то есть  хa,b имеет смысл интеграл

.

         Пусть F(x) - первообразная f(x) (F^/(x)=f(x)), тогда согласно формуле Ньютона- Лейбница имеем

.

 

         Отсюда

.

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела

.

Таким образом

является первообразной для подынтегральной функции f(x).

         Отметим, что (х) - это та первообразная f(x), которая обращается в ноль, когда  х = а.

         Аналогично   ,      .

З а м е ч а н и е.

                                  .              

4.4. Формула Ньютона-Лейбница

 

Теорема. (Основная теорема интегрального исчисления). Пусть f(x) непрерывна на a,b и Ф(х) является какой-нибудь ее первообразной на этом отрезке . Тогда

                                                      .                                     (4.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

        

         Положим     ,

 но тогда F, Ф - две первообразные одной и той же функции f(x) , то есть

F(x) = Ф(х) + С,    а   х  b,

то есть

.

При х = а следует, что С = -Ф(a).

Таким образом

.

Полагая здесь х = b, получим (4.12).

Теорема доказана.

4.5. Геометрический смысл определенного интеграла

 

         Пусть f(x), заданная на a,b, непрерывна и нужно определить площадь, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми х = а, х = b, y = 0.

 

Рис. 4.1

 

                         Рис. 4.2

S_i(x) = f(x_i)x_i,    где   х_i = х_i - х_i-1.

.

.

.

.

 

Устремим n  ,  x_i  0.  Возьмем

.

.

Но тогда

.

         Таким образом, определенный интеграл от непрерывной неотрицательной функции при a  b равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

 

4.6. Теорема о среднем для определенного интеграла

 

         Теорема 4.2.  (о среднем). Если f(x) интегрируемая на a,b и m  f(x)  M, xa,b  тогда

m(b-a)      M(b-a).

Д о к а з а т е л ь с т в о:

         Воспользуемся свойствами определенного интеграла:

                                                                                         (4.13)

.

 

Следствие. Если f(x) непрерывна на a,b, тогда существует точка a,b такая, что

                                                   .                                        (4.14)

Д о к а з а т е л ь с т в о:

         Так как f(x) непрерывна на a,b  тогда пусть   , 

и, следовательно, 

.

Таким образом, число

находится между наибольшим и наименьшим значением функции f(x). Но тогда по теореме Коши существует точка a,b такая, что

.

5. Методы вычисления определенного интеграла

5.1. Замена переменного

        Пусть необходимо вычислить

,где f(x) непрерывна на [a,b] и пусть х = (t),   t  , когда а  (t)  b  непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда

                  .                                 (5.1)

Для доказательства (5.1) рассмотрим сложную функцию F((t)), где F(x) - первообразная для f(x), то есть F^/(x)=f(x). Применяя правило дифференцирования для сложной функции, получим

.

На основании формулы Ньютона-Лейбница будем иметь

.