Лабораторная работа №1 «Элементарная теория погрешностей»
Задание 1. Выполнить последовательные округления следующих чисел:
1.
а) 
;
б) 
;
16. а) 
б) 
;
2.
а) 
б) 
;
17. а) 
б) 
3.
а) 
б) 
18. а) 
б) 
4.
а) 
б) 
19. а) 
б) 
5.
а) 
б) 
;
20. а) 
б) 
6.
а) 
б) 
;
21. а) 
б) 
7.
а) 
б) 
22. а) 
б) 
8.
а) 
б) 
23. а) 
б) 
9.
а) 
б) 
;
24. а) 
б) 
10.
а) 
б) 
25. а) 
б) 
11.
а) 
б) 
26. а) 
б) 
12.
а) 
б) 
27. а) 
б) 
13.
а) 
б) 
28. а) 
б) 
14.
а) 
б) 
29. а) 
б) 
15.
а) 
б) 
30. а) 
б) 
.
Задание 2. Определить, какое из равенств точнее.
1.
;
16.
;
2.
;
17.
;
3.
;
18.
;
4.
;
19.
;
5.
;
20.
;
6.
;
21.
;
7.
;
22.
;
8.
;
23.
;
9.
;
24.
;
10.
;
25.
;
11.
;
26.
;
12.
;
27.
;
13.
;
28.
;
14.
;
29. 
;
15.
;
30. 
.
Пример 1. Выполнить последовательные округления следующих чисел:
а)
;
б)
.
Решение.
а)
б) 
Пример
2. Определить, какое
из равенств точнее: 
или 
.
Решение.
Берем числа с большим числом десятичных знаков:
.
Определяем предельные абсолютные погрешности, округляя их с избытком:
;
.
Находим предельные относительные погрешности:
;
.
Т.к.
,
то первое равенство точнее.
Лабораторная работа №2 «Элементарная теория погрешностей»
Вычислить и определить погрешности результата.
Вычислить и определить погрешности результата.
Вычислить, пользуясь правилами подсчета цифр.
а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
,
где
,
а)
б)
в)
а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
,
где
,
а)
б)
в)
а)
;
б)
;
в)
.а)
;
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
,
где
,
а)
б)
в)
Пример 1.
Вычислить 
,
где 
.
Определить погрешность результата.
Решение.
При вычислении промежуточных
результатов будем сохранять одну
«запасную цифру», т.е. если по общему
правилу следует оставить 
значащих цифр, то в промежуточных
результатах сохраним 
цифру. Тогда:
1) 
При возведении приближенного
числа в степень в результате следует
оставить столько верных значащих цифр,
сколько верных значащих цифр содержится
в основании степени. Т.к. в основании
степени 
содержится три верных значащих цифры,
то в результате оставляем четыре цифры
(одну «запасную»).
2) 
При извлечении корня 
-й
степени из приближенного числа, в
результате следует брать столько
значащих цифр, сколько верных значащих
цифр имеет подкоренное выражение. Т.к.
в подкоренном выражении 
содержится четыре верных значащих
цифры, то в результате оставляем пять
верных значащих цифр (одна «запасная»).
3) 
Т.к. в основании степени
содержится три верных значащих цифры,
то в результате оставляем четыре цифры
(одну «запасную»).
4) 
В результате оставлено
три значащих цифры, т.к. наименьшее число
значащих цифр в числах 
равно трем.
5) Находим предельную
относительную погрешность, используя
правила и определения: а) предельная
относительная погрешность произведения
равна сумме предельных относительных
погрешностей сомножителей; б) предельная
относительная погрешность частного
равна сумме предельных относительных
погрешностей делимого и делителя; в)
предельная относительная погрешность
-й
степени приближенного числа в 
раз больше предельной относительной
погрешности самого числа; г) предельная
относительная погрешность корня 
-й
степени в 
раз меньше предельной относительной
погрешности подкоренного выражения;
д) 
;
е) 
. Таким образом:
6) Находим предельную абсолютную
погрешность: 
Ответ: 
.
Пример 2.
Вычислить 
,
где 
,
,
,
,
.
Определить погрешность результата.
Решение.
1) 
При сложении приближенных
чисел в результате следует сохранить
столько десятичных знаков, сколько их
в приближенном данном с наименьшим
числом десятичных знаков. При вычислении
промежуточных результатов следует
сохранить на одну цифру больше. Поэтому
при сложении чисел 
и 
сохраняем две цифры после запятой.
Полную погрешность находим как сумму абсолютных величин всех видов погрешностей.
2) 
При вычитании приближенных
чисел в результате следует сохранить
столько десятичных знаков, сколько их
в приближенном данном с наименьшим
числом десятичных знаков. При вычислении
промежуточных результатов следует
сохранить на одну цифру больше. Поэтому
при вычитании чисел 
и 
сохраняем три цифры после запятой.
Полную погрешность находим как сумму абсолютных величин всех видов погрешностей.
3)
При возведении приближенного
числа в квадрат в результате следует
сохранить столько значащих цифр, сколько
их в основании степени. При вычислении
промежуточных результатов следует
сохранить на одну цифру больше. Поэтому
при вычислении 
сохраняем пять значащих цифр.
При умножении и делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр. Поэтому результат округляем до двух значащих цифр.
4) Относительная погрешность:
.
5) Абсолютная погрешность:
.
Ответ: 
.
Пример 3.
Пользуясь правилами подсчета цифр,
вычислить 
,
где 
.
Решение.
.
Ответ:
.
При вычислениях используем правила:
При вычислениях промежуточных результатов следует сохранять на одну цифру больше, чем рекомендуют правила сложения, вычитания, умножения и деления приближенных чисел.
При делении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр. Поэтому
,
т.к. в числе 
три значащих цифры (+ одна «запасная»
цифра).При вычитании приближенных чисел в результате следует сохранить столько десятичных знаков, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом десятичных знаков. Поэтому
,
т.к. наименьшее число десятичных знаков
в числе 23,67 равно двум (+ одна «запасная»
цифра).При возведении приближенного числа в квадрат в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в основании степени. Поэтому
,
т.к. в основании степени три значащих
цифры (+ одна «запасная» цифра).При умножении в результате следует сохранить столько значащих цифр, сколько их в приближенном данном с наименьшим числом верных значащих цифр. Поэтому
,
т.к. в каждом числе четыре значащих
цифры (+ одна «запасная» цифра).В окончательном результате «запасная» цифра отбрасывается. И т.к. меньшее число значащих цифр сомножителей равно трем (в числе 11,8), то в результате оставляем три значащих цифры.