- •Часть 1 теоретическая механика Учебное пособие
- •Предисловие
- •Введение
- •1. Задачи и методы теоретической механики
- •2. Основные понятия теоретической механики
- •3*. Из истории развития механики.
- •4.* История развития теоретической механики в России
- •5. Законы Ньютона
- •Введение в кинематику
- •2. Кинематика точки
- •2.1. Способы задания движения точки
- •2.1.1. Векторный способ задания движения
- •2.1.2. Координатный способ задания движения
- •2.1.3. Движение точки в декартовой системе координат
- •2.1.4. Естественный способ задания движения
- •П ри движении точки м расстояние с течением времени изменяется. Чтобы знать положение точки м на траектории в любой
- •Уравнение (2.4) выражает закон движения точки м вдоль траектории.
- •2. 2. Скорость точки
- •2.2.3. Скорость точки при естественном способе задания движения
- •2. 3. Ускорение точки
- •2.3.1. Ускорение точки при векторном способе задания движения.
- •2.3.2. Ускорение точки в декартовой системе координат
- •2.3.3. Естественные координатные оси. Вектор кривизны.
- •2.3.4. Ускорение точки при естественном способе задания движения
- •2.3.5. Классификация движения точки по ускорениям ее движения Рассмотрим зависимость характера движения точки от значений ее нормального и касательного ускорений.
- •Вопросы для повторения
- •3. Кинематика твердого тела
- •3.1. Общие положения
- •3. 2. Поступательное движение твердого тела
- •3.3. Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •3.3.1. Уравнение движения
- •3.3.2.Угловая скорость
- •3.3.3. Угловое ускорение
- •3.3.4. Равномерное и равнопеременное вращение
- •3.3.5. Скорости и ускорения точек вращающегося тела
- •3.3.6. Векторные выражения вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений
- •3.3.7. Преобразование вращательного движения
- •Виды зацепления
- •Вопросы для повторения
3.3.2.Угловая скорость
Если за промежуток времени тело совершит поворот на угол , то средняя угловая скорость тела за этот промежуток времени равна: .
Угловая скорость в данный момент времени называется величина, к которой стремится средняя угловая скорость ωср, когда промежуток времени Δt→0.
, или
. (3.5)
Таким образом, угловая скорость в данный момент времени численно равна первой производной от угла поворота по времени. Знак определяется направлением вращения тела. Легко видеть, что когда вращение происходит против хода часовой стрелки ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, ω<0. Размерность угловой скорости = с-1, так как радиан – величина безразмерная.
Условимся угловую скорость изображать в виде вектора , численная величина которого равна и который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. Такой вектор определяет сразу модуль угловой скорости, ось вращения и направление вращения тела вокруг оси.
3.3.3. Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Если за промежуток угловая скорость изменилась на , то среднее угловое ускорение тела за этот промежуток времени будет численно равно .
Угловым ускорением в данный момент времени называется величина, к которой стремится значение , когда промежуток времени Δt→0, следовательно:
, или
. (3.6)
Итак, угловое ускорение тела в данный момент времени численно равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела.
Размерность углового ускорения [ε]=1/c2 =с-2
Если модуль угловой скорости с течением времени возрастает, то движение называется ускоренным, если убывает – то замедленным. Легко видеть, что вращение будет ускоренным, если ω и ε имеют одинаковые знаки, и замедленным, если ω и ε имеют разные знаки.
Угловое ускорение тела (по аналогии с угловой скоростью) можно изобразить вектором , направленным вдоль оси вращения. При этом направление совпадает с направлением , если движение ускоренное (рис. 3.4) и противоположно направлению , если движение замедленное (рис. 3.5)
Pис. 3.4 Рис. 3.5
Ускоренное вращение Замедленное вращение
3.3.4. Равномерное и равнопеременное вращение
Вращение тела с постоянной угловой скоростью ω = const называется равномерным.
Найдем закон равномерного вращения. При условии, что при t = 0, φ = φ0. Из (3.5) имеем . Проинтегрировав это уравнение в пределах слева от φ до φ0, справа от 0 до t, получим: , oткуда
. (3.7)
Выражение (3.7) является уравнением равномерного вращения тела.
Из уравнения (3.7) находим , то есть угловая скорость равномерного вращения тела равна отношению приращения угла поворота за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка времени.
В технике угловая скорость измеряется числом оборотов в минуту и обозначается n. Так как, один оборот равен 2π рад, то зависимость между угловой скоростью [n] = об/мин и [ω] = с-1 при φ0 = 0 имеет вид
. (3.8)
Пример 1. Определить угловую скорость Земли вокруг ее оси, выраженной в с-1.
Решение: .
Вращение тела при котором угловое ускорение постоянно (ε=const) во все время движения, называется равнопеременным.
Найдем закон равнопеременного вращения, если при t=0, φ=φ0, ω=ω0. Из (3.6) имеем: . Это уравнение проинтегрируем в пределах, соответствующих начальному моменту t0 и произвольному моменту времени t. Получим , или
. (3.9)
Подставим полученное выражение в уравнение , тогда . Интегрируя его в соответствующих пределах, получим: , или
(3.10)
Пример 2. Вал начитает вращаться из состояния покоя. В первые 10 с он совершает 200 оборотов. Каковы его угловые скорость и ускорение по истечении 20 с?
Решение. Так как вал начинает вращаться из состояния покоя, то . В этом случае уравнения (3.9) и (3.10) при = 0 имеют вид
, (а)
. (б)
Из уравнения (б) находим , где φ = 2π N. Подставляя числовые значения, находим:
с-2, с-1.