Определение 1. Если каждой упорядоченной паре чисел по некоторому закону поставлено в соответствие единственное действительное число , то говорят, что задана функция двух переменных или . Числа называются при этом независимыми переменными или аргументами функции, а число – зависимой переменной.

Пару чисел иногда называют точкой , а функцию двух переменных – функцией точки .

Значение функции в точке обозначают или и называют частным значением функции двух переменных.

Совокупность всех точек , в которых определена функция , называется областью определения этой функции. Для функции двух переменных область определения представляет собой всю координатную плоскость или ее часть, ограниченную одной или несколькими линиями.

График функции 2-х переменных. Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению z= =f(x,y), называется графиком функции двух переменных.

Поверхности второго порядка

1. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется эллипсоидом.

Свойства эллипсоида.

Эллипсоид – ограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что

Эллипсоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно координатных осей,

плоскостной симметрией относительно начала координат.

В сечении эллипсоида плоскостью, перпендикулярной любой из координатных осей, получается эллипс.

2. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, называется эллиптическим параболоидом. Свойства эллиптического параболоида.Эллиптический параболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z ≥ 0 и принимает сколь угодно большие значения.

Эллиптический параболоид обладает

осевой симметрией относительно оси Oz,

плоскостной симметрией относительно координатных осей Oxz и Oyz.В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – парабола.

3. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется однополостным гиперболоидом. Свойства однополостного гиперболоида. Однополостной гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что z – любое число.

Однополостной гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям Ox и Oy – гипербола.

4. Поверхность, задаваемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат уравнением a > 0, b > 0, c > 0, называется двуполостным гиперболоидом.

Свойства двуполостного гиперболоида.Двуполостный гиперболоид – неограниченная поверхность, поскольку из его уравнения следует, что и неограничен сверху.

Двуполостный гиперболоид обладает

центральной симметрией относительно начала координат,

осевой симметрией относительно всех координатных осей,

плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью, перпендикулярной оси координат Oz, при получается эллипс, при – точка, а в сечении плоскостями, перпендикулярными осям Ox и Oy, – гипербола.По аналогии с коническими сечениями существуют и вырожденные поверхности второго порядка. Так, уравнением второго порядка x2 = 0 описывается пара совпадающих плоскостей, уравнением x2 = 1 – пара параллельных плоскостей, уравнением x2 – y2 = 0 – пара пересекающихся плоскостей. Уравнение x2 + y2 + z2 = 0 описывает точку с координатами (0; 0; 0), уравнение x2 + y2 = 1 – круговой цилиндр, уравнение x2 + y2 = z2 – круговой конус. Существуют и другие вырожденные случаи. Полная теория поверхностей второго порядка рассматривается в курсе аналитической геометрии.

5. Конус Вершина конуса в начале координат, направляющая кривая — эллипс с полуосями а и b, плоскость которого находится на расстоянии с от начала координат

6. Эллиптический цилиндр

a и b — полуоси

7. Гиперболический цилиндр

8. Параболический цилиндр