Производная по направлению

В математическом анализе, производная по направлению — это обобщение понятия производной на случай функции нескольких переменных. Производная по направлению показывает, насколько быстро функция изменяется при движении вдоль заданного направления.

Производная функции одной переменной показывает, как изменяется её значение при малом изменении аргумента. Если мы попытаемся по аналогии определить производную функции многих переменных, то столкнёмся с трудностью: в этом случае изменение аргумента (то есть точки в пространстве) может происходить в разных направлениях, и при этом будут получаться разные значения производной. Именно это соображение и приводит к определению производной по направлению.

Рассмотрим функцию от аргументов в окрестности точки . Для любого единичного вектора определим производную функции в точке по направлению следующим образом:

Значение этого выражения показывает, как быстро меняется значение функции при сдвиге аргумента в направлении вектора .

Если направление сонаправленно с координатной осью, то производная по направлению совпадает с частной производной по этой координате.

[Править] Связь с градиентом

Производную по направлению дифференциируемой по совокупности переменных функции можно рассматривать как проекцию градиента функции на это направление, или иначе, как скалярное произведение градиента на орт направления:

,

где — орт направления. Отсюда следует, что максимальное значение в точке производная по направлению принимает, если направление совпадает с направлением градиента функции в данной точке. Также видно, что значение производной по направлению не зависит от длины вектора .

Градие́нт (от лат. gradiens, род. падеж gradientis — шагающий, растущий) — вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины , значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля).

Касательная плоскость и нормаль поверхности.

Пусть в прямоугольной декартовой системе координат oxyz заданна поверхность z=f(x,y).  Возьмем на поверхности точку М и проведем через эту точку всевозможные кривые лежащие на поверхности к каждой из полученных кривых проведем касательные в точке М.

Касательной плоскостью к пов-ти z=f(x,y) в точке М наз плоскость в которой лежат все касательные проведенные к всевозможным кривым лежащим на поверхности и проходящей через точку М.

Нормалью к поверхности наз вектор ⊥ касательной плоскости в точке касания.  Если пов-сть задана уравнением z=f(x,y) то вектор нормали n имеет координаты n(∂z/∂х, ∂z/∂у, -1). Пусть точка М имеет координаты (x0,y0,z0) возьмем на касательной плоскости N с текущими координатами (x,y,z) тогда MN будет лежать на плоскости и он будет⊥вектору нормали n т.к. MN и n взаимно перпендикулярны

то  их скалярное произведение равно нулю.(MN,n)=0

MN(x-x0,y-y0,z-z0)  Подставив координаты в скалярное произведение получим: (∂z/∂х)(М)(х-х0)+(∂z/∂у)(М)(у-у0)=z-z0  уравнение описывает касательную плоскость проведенную к пов-ти z=f(x,y) в точке М(x0,y0,z0). Т.к. направляющий вектор совпадает с вектором n, то уравнение нормали имеет вид:(x-x0)/Zx1(M)=(y-y0)/ Zy1(M)=(z-z0)/-1

Если поверхность задана неявно уравнением F(x,y,z)=0, то уравнение касательной плоскости и нормали поверхности проведения в М(x0,y0,z0)

имеет вид: F1x(M)(x-x0)+ F1y(y-y0)+ F1x(M)(z-z0)=0 

уравнение нормали:(x-x0)/Fx1(M)=(y-y0)/ Fy1(M)=(z-z0)/ FZ1(M).

Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х₀, у₀) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х₀, у₀) к точке (х₀+х, у₀+у).

  Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума Определение 7. Точка  называется точкой минимума (максимума) функции , если существует такая окрестность точки , что для всех точек  из этой окрестности выполняется неравенство , ( ). Точки минимума и максимума функции  называются точками экстремума, а значения функции в этих точках – экстремумами функции (минимумом и максимумом соответственно). Заметим, что минимум и максимум функции имеют локальный характер, так как значение функции в точке  сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к . Теорема 1 (необходимые условия экстремума). Если точка экстремума дифференцируемой функции , то ее частные производные  и  в этой точке равны нулю:   . Точки, в которых частные производные первого порядка равны нулю, называются критическими или стационарными. В критических точках функция  может иметь экстремум, а может и не иметь. Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Пусть функция : а) определена в некоторой окрестности критической точки , в которой  и ; б) имеет непрерывные частные производные второго порядка     . Тогда, если , то функция  в точке  имеет экстремум: максимум, если А<0; минимум, если А>0; если , то функция  в точке  экстремума не имеет. В случае  вопрос о наличии экстремума остается открытым.