Предел и непрерывность
Понятия предела и непрерывности функции двух переменных аналогичны случаю одной переменной. Пусть – произвольная точка плоскости. – окрестностью точки называется множество всех точек , координаты которых удовлетворяют неравенству . Другими словами, – окрестность точки – это все внутренние точки круга с центром в точке и радиусом . Определение 2. Число называется пределом функции при (или в точке ), если для любого сколь угодно малого положительного числа существует (зависящее от ) такое, что для всех и удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство . Обозначается предел следующим образом: или . Функция называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции.
Свойства функции ограниченной замкнутой областью
Назовём множество ограниченным, если оно целиком содержится в шаре достаточно большого радиуса, то есть если найдётся такое число , что
Если функция непрерывна в замкнутой и ограниченной области , то:
1) функция ограничена на , то есть существует такая постоянная , что при всех ;
2) функция принимает в области наибольшее и наименьшее значения, то есть существуют такие точки и , что при всех выполняются неравенства и .
Частная производная Геометрич. Смысл
Частной производной ф-ии Z=f(x,y) по переменной х наз-ся предел отношения частного приращения ф-ии по данной переменной к соответствующей приращению переменной когда последняя → 0 z|x= f|x= ∂z/∂x=∂f/∂x= lim(?х→0) ?хz /?х
Геометрический смысл ЧП-ой состоит в следующем : значение ЧП-ой по переменной «х» = тангенсу угла наклона на касательной проведённой к кривой получаемой пересечением поверхностей Z=f(x,y) и плоскости у=у0.Анологично опр-ся геометрический смысл ЧП-ой по переменной «у». Значение ЧП-ой по переменной «у» = тангенсу угла наклона касательной проведённой к кривой к-рая получается при пересечении поверхности с плоскостью х=х0
Частные производные высших порядков
Пусть задана функция f(x, y). Тогда каждая из ее частных производных(если они, конечно, существуют) и , которые называются также частными производными первого порядка, снова являются функцией независимых переменных x, y и может, следовательно также иметь частные производные. Частная производная обозначается через или , а через или . Таким образом,
,
и, аналогично,
, .
Теорема о равенстве производных
Частные производные одной и той же функции равны между собой, отличаются лишь порядком дифференцирования, если они непрерывны.
Полным дифференциалом функции называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных, т.е. . Учитывая, что дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е. , формулу полного дифференциала можно записать в виде или .
Частные производные неявной и сложной функции
Если в уравнении вида каждой паре чисел и из некоторой области соответствует одно или несколько значений , удовлетворяющих этому уравнению, то уравнение неявно определяет одну или несколько однозначных функций от и . В этом случае говорят, что есть неявная функция от и .
Частные производные и неявной функции находятся по формулам (предполагается, что ): .
Скалярное поле
Если каждой точке M области многомерного пространства поставлено в соответствие некоторое (обычно — действительное) число u, то говорят, что в этой области задано скалярное поле. Другими словами, скалярное поле — это функция, отображающая Rn в R (скалярная функция).