- •Л.М. Орлова, н.Н. Ивахненко Определенный и несобственный интегралы
- •Содержание
- •Введение
- •1. Определенный интеграл и его свойства
- •1.1. Понятие определенного интеграла
- •1.2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
- •1.3. Методы вычисления определенных интегралов
- •1.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •2. Приложения определенного интеграла
- •2.1. Площадь плоской фигуры
- •2.2. Длина дуги
- •2.3. Объем тела вращения
- •2.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •3. Несобственный интеграл
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.2. Несобственный интеграл от неограниченных функций
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •Литература
- •Предметный указатель
1.2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
Рассмотрим вначале свойства, аналогичные свойствам неопределенного интеграла.
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла
, (1.2.1)
где k – некоторое число.
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций f1(x), f2(x) равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от каждой из функций f1(x), f2(x)
. (1.2.2)
Следствие: свойство 2 имеет место для любого конечного числа слагаемых.
Далее рассмотрим свойства, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.
3. Определенный интеграл меняет знак на противоположный при перестановке пределов интегрирования:
. (1.2.3)
4. Определенный интеграл от дифференциала равен длине интервала интегрирования:
. (1.2.4)
5. Для любого отрезка [a, b] справедлива формула:
. (1.2.5)
где с - некоторая точка, лежащая внутри или вне отрезка [a, b].
6. Если на отрезке [a, b] выполняется неравенство f1(x) f2(x), то
. (1.2.6)
7. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то на этом отрезке найдется такая точка , что
. (1.2.7)
8. Если m – наименьшее, а М – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b], то
. (1.2.8)
9. Абсолютная величина интеграла не превосходит інтеграл от абсолютной величины подынтегральной функции
. (1.2.9)
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и для нее известен неопределенный интеграл где F(x) – первообразная функция для f(x) на отрезке [a, b], то определенный интеграл равен приращению первообразной F(x) на отрезке [a, b]:
. (1.2.10)
Формула (1.2.10) называется формулой Ньютона – Лейбница.
Пример 1.2.1. Вычислить /
Решение. Почленно разделив числитель на знаменатель подынтегральной функции, представим данный определенный интеграл в виде суммы двух определенных интегралов:
Пример 1.2.2. Вычислить .
Решение. .
1.3. Методы вычисления определенных интегралов
Метод замены переменной
Часто для вычисления определенного интеграла полезно заменить переменную интегрирования x новой переменной t при помощи подстановки x = (t) или t = (x). При этом необходимо перейти от старых пределов интегрирования a и b к новым пределам и , которые определяются из уравнений a = (), b = ().
Замена переменной в определенном интеграле осуществляется по формуле
. (1.3.1)
Формула (1.3.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью метода замены переменной возвращаться к старой переменной не следует.
Пример 1.3.1. Вычислить .
Решение. Переходим к новой переменной интегрирования, полагая x = t2. Найдем новые пределы интегрирования: поскольку а = 0, то ; поскольку b = 4, тогда . Найдем dx = 2tdt. Тогда по формуле (1.3.1), получаем
=
= .
Пример 1.3.2. Вычислить
Решение. Так как под знаком интеграла стоит рациональная функция от тригонометрических функций и , то для вычисления определенного интеграла следует использовать универсальную тригонометрическую подстановку которая сведет его к интегралу рациональной дроби.
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Пример 1.3.3. Вычислить EMBED Equation.3 .
Решение. Для вычисления данного определенного интеграла целесообразно воспользоваться подстановкой EMBED Equation.3 . Такая подстановка возможна (так как при любом значении EMBED Equation.3 под корнем получается неотрицательная величина) и приводит к тому, что корень под знаком интеграла исчезает.
EMBED Equation.3
Интегрирование по частям
Если функция u(x) и v(x) обладают непрерывными производными на отрезке [a, b], то справедлива формула интегрирования по частям для определенного интеграла:
EMBED Equation.3 . (1.3.2)
Иногда формулу (1.3.2) приходится применять несколько раз.
Подынтегральное выражение, которое составляет произведение EMBED Equation.3 , можно разбить на множители EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 несколькими способами, но следует принять такие обозначения, чтобы интеграл в правой части формулы (1.3.2) был более простым, чем интеграл в левой части этой формулы.
Замечание. При нахождении функции EMBED Equation.3 по известному дифференциалу EMBED Equation.3 принимается произвольная постоянная равная нулю: С = 0, так как она не влияет на окончательный результат.
Можно указать некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять, используя метод интегрирования по частям.
I. EMBED Equation.3 |
рекомендуется обозначать: EMBED Equation.3 =EMBED Equation.3 |
II.EMBED Equation.3 |
рекомендуется обозначать EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 |
Пример 1.3.2. Вычислить EMBED Equation.3 .
Решение. Так как под знаком интеграла стоит произведение степенной функции на трибометрическую (первый тип), то можно использовать формулу (1.3.2.)
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 .
Пример 1.3.3. Вычислить EMBED Equation.3 .
Решение. Под знаком интеграла стоит произведение степенной функции на обратную тригонометрическую функцию (второй тип). По формуле (1.4.2.) получаем:
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Пример 1.3.4. Вычислить EMBED Equation.3
Решение. По формуле (1.4.2) получаем:
EMBED Equation.3
Таким образом в этом примере формула интегрирования по частям (1.4.2) была применена два раза.