- •Л.М. Орлова, н.Н. Ивахненко Определенный и несобственный интегралы
- •Содержание
- •Введение
- •1. Определенный интеграл и его свойства
- •1.1. Понятие определенного интеграла
- •1.2. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона–Лейбница
- •1.3. Методы вычисления определенных интегралов
- •1.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •2. Приложения определенного интеграла
- •2.1. Площадь плоской фигуры
- •2.2. Длина дуги
- •2.3. Объем тела вращения
- •2.4. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •3. Несобственный интеграл
- •3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •3.2. Несобственный интеграл от неограниченных функций
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения
- •4. Комплексные тестовые задания для индивидуального решения
- •Задание 2
- •Задание 3
- •Задание 4
- •Задание 5
- •Задание 6
- •5. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля усвоения материала
- •5.1. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.2. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •5.3. Ответы к заданиям для самостоятельного контроля
- •Литература
- •Предметный указатель
3. Несобственный интеграл
3.1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
интегрирования
Пусть функция f(x) непрерывна на промежутке a x <+, тогда она непрерывна на любом отрезке [a, b], b a, а следовательно, существует определенный интеграл EMBED Equation.3 Этот интеграл является функцией своего верхнего предела b, определенной на промежутке a b <+ (рис. 3.1.1).
Рисунок 3.1.1 - Непрерывная функция на промежутке a b <+
Если при b интеграл EMBED Equation.3 стремится к конечному пределу, то этот предел обозначают символом EMBED Equation.3 и называют несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x).
Таким образом, по определению несобственный интеграл с бесконечным верхним пределом интегрирования от функции f(x) вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 . (3.1.1)
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится.
Если же при b не существует предела интеграла EMBED Equation.3 или этот предел бесконечен, то символу EMBED Equation.3 никакого числового смысла не приписывают и говорят, что несобственный интеграл не существует или расходится.
Аналогическим образом для функции f(x), непрерывной на бесконечном промежутке - < а EMBED Equation.3 b, определяется несобственный интеграл EMBED Equation.3 (рис. 3.1.2).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рисунок 3.1.2 - Непрерывная функция на промежутке - < а EMBED Equation.3 b
Таким образом, по определению несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом интегрирования от функции f(x) вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 . (3.1.2)
Для функции f(x) непрерывной на всей числовой оси, несобственный интеграл EMBED Equation.3 называется несобственным интегралом по бесконечному промежутку интегрирования от функции f(x) и вычисляется по формуле:
EMBED Equation.3 , (3.1.3)
где d - любое число.
Если каждый из интегралов в правой части равенства (3.1.3) сходится, то несобственный интеграл EMBED Equation.3 называется сходящимся, (причем его величина не зависит от d). Если хотя бы один из интегралов в правой части (3.1.3) расходится, то этот несобственный интеграл называется расходящимся.
Рассмотрим несколько примеров несобственных интегралов.
Пример 3.1.1. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .
Решение. По формуле (3.1.1) имеем
EMBED Equation.3 .
Поскольку этот предел существует и конечен, то данный несобственный интеграл сходится.
Пример 3.1.2. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .
Решение. Подынтегральная функция непрерывна в промежутке EMBED Equation.3 , следовательно, по формуле (3.1.1) имеем
EMBED Equation.3 .
Поскольку этот предел существует и конечен, то данный несобственный интеграл сходится.
Замечание. Геометрический смысл несобственного интеграла тот же, что и определенного интеграла.
Так, вычислив несобственный сходящийся интеграл примера 3.1.2, мы получили значение площади плоской фигуры, ограниченной графиком функции EMBED Equation.3 , прямой EMBED Equation.3 и осью EMBED Equation.3 (рис. 3.1.3)
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рисунок 3.1.3 - Криволинейная трапеция
Пример 3.1.3. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .
Решение. По формуле (3.1.2) имеем
EMBED Equation.3 .
Поскольку этот предел существует и конечен, то данный несобственный интеграл сходится.
Пример 3.1.4. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .
Решение. В соответствии с формулой (3.1.3) имеем
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
Поскольку этот предел равен бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится.
Пример 3.1.5. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .
Решение. По определению имеем:.
EMBED Equation.3
Геометрически данный несобственный сходящийся интеграл выражает площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком подынтегральной функции EMBED Equation.3 и осью EMBED Equation.3 , которая является горизонтальной асимптотой данной функции (рис. 3.1.4).
SHAPE \* MERGEFORMAT
Рисунок 3.1.4 - Криволинейная трапеция