3.2. Несобственный интеграл от неограниченных функций

Пусть функция f(x) непрерывна на полуинтервале [a, b) и неограниченна вблизи точки b.

Интеграл EMBED Equation.3 , (где a  b₁ <b) будет функцией своего верхнего предела. Если при b₁ b-0 существует конечный предел интеграла EMBED Equation.3 , то этот предел обозначают символом EMBED Equation.3 и называют несобственным интегралом от неограниченной функции f(x) на отрезке [a, b]. Таким образом,

EMBED Equation.3 . (3.2.1)

Если этот предел существует, то говорят, то несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла EMBED Equation.3 для функции f(x), непрерывной на полуинтервале (a, b] и неограниченной вблизи точки а.

То есть,

EMBED Equation.3 . (3.2.2)

Несобственный интеграл от функции f(x) непрерывной на интервале (a;b) и неограниченной вблизи его концов a и b , определяются равенством

EMBED Equation.3 . (3.2.3)

где l – любая точка, принадлежащая интервалу (а;b).

Пусть теперь функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] всюду, кроме некоторой точки l, а < l < b, и не ограничена вблизи l (рис. 3.2.1).

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 3.2.1 – Неограниченная функция в точке l на отрезке [a;b]

Несобственный интеграл EMBED Equation.3 определяется равенством:

EMBED Equation.3 . (3.2.4)

Если каждый из интегралов в правой части равенства (3.2.4) сходится. Если хотя бы один из этих интегралов расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Пример 3.2.1. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3 .

Решение.

EMBED Equation.3

Поскольку этот предел равен бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится.

Пример 3.2.2. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3

Решение.

EMBED Equation.3

Поскольку этот предел равен бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится.

Пример 3.2.2. Исследовать сходимость несобственного интеграла EMBED Equation.3

Решение. Подынтегральная функция непрерывна на промежутке EMBED Equation.3 . В точке EMBED Equation.3 знаменатель подынтегральной функции обращается в ноль, следовательно в окрестности этой точки функция не ограничена, поэтому

EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3

Поскольку этот предел равен бесконечности, то данный несобственный интеграл расходится.

SHAPE \* MERGEFORMAT

Рисунок 3.2.2 – Неограниченная функция

3.3.3. Задания для самостоятельного контроля усвоения

материала к разделу 3

В заданиях 3.3.1 – 3.3.30 показать, что несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования сходится, найти предел

3.3.1. EMBED Equation.3 . 3.3.2. EMBED Equation.3 . 3.3.3. EMBED Equation.3 . 3.3.4. EMBED Equation.3 . 3.3.5. EMBED Equation.3 . 3.3.6. EMBED Equation.3 . 3.3.7. EMBED Equation.3 . 3.3.8. EMBED Equation.3 . 3.3.9. EMBED Equation.3 . 3.3.10. EMBED Equation.3 . 3.3.11. EMBED Equation.3 . 3.3.12. EMBED Equation.3 . 3.3.13. EMBED Equation.3 . 3.3.14. EMBED Equation.3 . 3.3.15. EMBED Equation.3 . 3.3.16. EMBED Equation.3 . 3.3.17. EMBED Equation.3 . 3.3.18. EMBED Equation.3 . 3.3.19. EMBED Equation.3 . 3.3.20. EMBED Equation.3 . 3.3.21. EMBED Equation.3 . 3.3.22. EMBED Equation.3 . 3.3.23. EMBED Equation.3 . 3.3.24. EMBED Equation.3 . 3.3.25. EMBED Equation.3 . 3.3.26. EMBED Equation.3 . 3.3.27. EMBED Equation.3 . 3.3.28. EMBED Equation.3 . 3.3.29. EMBED Equation.3 . 3.3.30. EMBED Equation.3 .

В заданиях 3.3.31 – 3.3.60 показать, что несобственный интеграл от неограниченной функции сходится, найти предел:

3.3.31. EMBED Equation.3 . 3.3.32. EMBED Equation.3 . 3.3.33. EMBED Equation.3 . 3.3.34. EMBED Equation.3 . 3.3.35. EMBED Equation.3 . 3.3.36. EMBED Equation.3 . 3.3.37. EMBED Equation.3 . 3.3.38. EMBED Equation.3 . 3.3.39. EMBED Equation.3 . 3.3.40. EMBED Equation.3 . 3.3.41. EMBED Equation.3 . 3.3.42. EMBED Equation.3 . 3.3.43. EMBED Equation.3 . 3.3.44. EMBED Equation.3 . 3.3.45. EMBED Equation.3 . 3.3.46. EMBED Equation.3 . 3.3.47. EMBED Equation.3 . 3.3.48. EMBED Equation.3 . 3.3.49. EMBED Equation.3 . 3.3.50. EMBED Equation.3 . 3.3.51. EMBED Equation.3 . 3.3.52. EMBED Equation.3 . 3.3.53. EMBED Equation.3 . 3.3.54. EMBED Equation.3 . 3.3.55. EMBED Equation.3 . 3.3.56. EMBED Equation.3 . 3.3.57. EMBED Equation.3 . 3.3.58. EMBED Equation.3 . 3.3.59. EMBED Equation.3 . 3.3.60. EMBED Equation.3 .