1. Аа; 2) если ав, то в а; 3) если а в и в с, то а с.

Понятие эквивалентности применимо к любым множествам. Для конечных множеств эквивалентность означает совпадение числа элементов в них. Любое счетное множество можно определить как множество, эквивалентное множеству натуральных чисел. В частности, все счетные множества эквивалентны между собой.

Существование несчетного множества утверждает следующая теорема.

Теорема 1. Множество всех действительных чисел, заключенных между нулем и единицей, несчетно.

Доказательство. Предположим противное. Пусть существует некоторое перечисление действительных чисел , лежащих на отрезке [0, 1]:

₁= 0,a₁₁a₁₂a₁₃ … a_1n ...,

₂ = 0,a₂₁a₂₂a₂₃ ... a_2n ...,

₃ = 0,a₃₁a₃₂a₃₃ ... a_3n ..., (1)

………………………………

 _n = 0,a_n1a_n2a_n3 ... a_nn ... ,

………………………………

Здесь а_jk – k– ая десятичная цифра числа  _j. Построим дробь

 = 0, b₁b₂ ... b_n ...

следующим образом: за b₁ примем произвольную цифру, не совпадающую с a₁₁, за b₂ – произвольную цифру, не совпадающую с a₂₂, и т.д. Вообще, за b_n примем произвольную цифру, не совпадающую с a_nn . Эта десятичная дробь не может совпасть ни с одной дробью, содержащейся в перечне (1). Действительно, от ₁ дробь  отличается, по крайней мере, первой цифрой, от второй дроби – второй цифрой и т. д., вообще, так как b_n  a_nn для всех n, то дробь  отлична от любой из дробей _j, содержащихся в перечне (1). Таким образом, никакой перечень действительных чисел, лежащих на отрезке [0,1], не исчерпывает этого отрезка.

Итак, множество точек на отрезке [0,1] несчетно. Приведем примеры множеств, эквивалентных множеству точек отрезка [0,1].

Пример 7. Множество точек любого отрезка [a,b] эквивалентно отрезку [0,1]. Из рис.2 ясно, как установить взаимно однозначное соответствие (pq) между точками отрезков [0,1] и [a,b]. Аналогично устанавливается эквивалентность любых двух отрезков.

С

C

0 р 1

d

a q b q -1 p 0 1

Рис. 2. Рис. 3.

Пример 8. Множество точек отрезка [–1,1] эквивалентно множеству всех точек числовой прямой, т.е. множеству всех действительных чисел. На рис.3 видно, что каждой точке p из отрезка [–1,1] однозначно соответствует точка d на полуокружности, а точке d – точка q числовой прямой. При таком соответствии: 00, 1 , –1.

Отметим, что рисунок 3 кроме того иллюстрирует эквивалентность отрезка [–1,1] и множества точек полуокружности.

Рассматривая примеры, связанные с бесконечными множествами, можно заметить, что бесконечное множество оказывается эквивалентным своему собственному подмножеству (множество целых и множество натуральных чисел, отрезок [a,b] и вся числовая прямая). Более того, это обстоятельство является характерным для всех бесконечных множеств. Справедливо следующее утверждение:

Всякое бесконечное множество эквивалентно некоторому своему собственному подмножеству.

Это свойство можно принять за определение бесконечного множества.

Два эквивалентных между собой множества (МN) называют равномощными или говорят, что они имеют одинаковую мощность. Таким образом, мощность это то общее, что присуще всем эквивалентным между собой множествам. Для конечных множеств понятие мощности совпадает с понятием числа элементов. Мощность множества натуральных чисел, а, следовательно, и любого счетного множества обозначается ₀ (читается: “алеф нуль”). Мощность всех действительных чисел отрезка [0,1] и всех эквивалентных ему множеств называют континуальной или говорят, что эти множества имеют мощность континуума. Эта мощность обозначается символом с (или символом ).

Для конечных множеств, кроме понятия равенства мощностей имеются понятия «больше» и «меньше». Выясним, можно ли эти понятия распространить на бесконечные множества?

Для произвольных множеств А и В обозначим через m(A) и m(B) их мощности. Если А эквивалентно В, то по определению m(A)=m(B). Если А эквивалентно некоторому подмножеству В₁В, а при этом в А нет подмножества, эквивалентного В, то естественно считать, что m(A)m(B). Однако логически, кроме указанных возможностей, есть еще две:

а) ВВ₁ А, А А_ В;

б) А и В не эквивалентны и ни в одном из них нет подмножеств, эквивалентных другому множеству.

В случае а) множества А и В оказываются эквивалентными друг другу, т.е. m(A)=m(B) . Это утверждает следующая теорема.

Теорема 2. (Кантора – Бернштейна). Пусть А и В два произвольных множества. Если в А имеется подмножество А₁, эквивалентное В, а в В имеется подмножество В₁, эквивалентное А, то А и В эквивалентны между собой.

Случай б), который означал бы существование несравнимых между собой мощностей, на самом деле невозможен.

Таким образом, мощности любых двух множеств А и В или совпадают m(A)=m(B), или удовлетворяют одному из двух неравенств:

m(A) m(B) , m(A) m(B).

В связи с тем, что мощности можно сравнивать, возникают следующие вопросы: 1) существуют ли мощности, промежуточные между мощностью «самого маленького» из бесконечных множеств – счетного множества и мощностью континуума; 2) существуют ли множества, мощность которых больше, чем мощность континуум; 3) вообще, существует ли «наивысшая» мощность? Оказывается, верна следующая теорема.

Теорема 3. Пусть М – некоторое множество и S(М) – множество всех подмножеств множества М. Тогда мощность S(М) больше мощности самого множества М.

Итак, для любой мощности можно построить множество большей мощности, затем еще большей и т.д., получая, таким образом, неограниченную сверху шкалу мощностей.