Имитационное моделирование экономических процессов

* 2 i ;

Xi

Рис. 7.6. Схема движения по градиенту

Если поверхность отклика локально может быть описана линей­ ным уравнением, то частные производные, очевидно, будут равны коэффициентам уравнения регрессии

=ь..

В этом случае при движении по поверхности отклика в направ­ лении крутого восхождения нужно будет независимые переменные изменять пропорционально величине соответствующих коэффици­ ентов регрессии с учетом их знака. При постановке экспериментов всегда приходится переходить к натуральным переменным. В нату­ ральных переменных величина шага должна быть пропорциональна произведению 6/ на единицу варьирования.

Пример 7.4. Определение состава компонентов сплава. Рассмот­ рим задачу выбора оптимального состава сплава*. Требуется найти такое соотношение легирующих компонентов, чтобы сплав на осно­ ве железа имел максимальное сопротивление на разрыв при темпе­ ратуре 800°С. Железо легировали следующими элементами: Сг, Ni, Мо, V, Nb, Мп, С. Легирующие Элементы и уровни варьирования задавались исходя из металловедческих и экономических соображе­ ний. Опустим для краткости процесс планирования движения по градиенту, и сразу отметим следующее.

• Кузин Л.Т., Плужников Л.Н., Белов Б.Н. Математические методы в эко­ номике и организации производства. - М.: Изд-во МИФЦ 1968. (Пример взят из этой книги и перепроверен авторами с помощью модели.)

271

Лучший результат получен в 11-м опыте. Дальнейшее движение по направлению градиента линейного приближения приводит к пони­ жению сопротивления на разрыв. Таким образом, был найден следую­ щий состав стали: Сг 10,4%; Ni 1,2%; Mo 0,66%; V 0,18%; Nb 0,58%; Mn 0,24%; С 0,8% с сопротивлением на разрьш>' = 11,500 т/см^.

Эксперимент с семью факторами после всего 13 опытов позво­ лил увеличить сопротивление на разрыв более чем в 2,5 раза (11,5/4,5). При обычных традищюнных методах исследования решение такой задачи потребовало бы длительных и дорогостояпщх усилий. Результаты работы были бы представлены не двумя таблицами, а гро­ моздким отчетом, содержащим десятки таблиц и графиков. При жела­ нии полученный результат может быть уточнен, если повторить экспе­ римент, выбрав полученную точку оптимума в качестве исходной.

В рассмотренном примере имеется достаточно априорных све­ дений о процессе (состав переменных, величина шага, исходная точ­ ка). Если априорных сведений мало, то исследование методом кру­ того восхождения также эффективно, однако его приходится повто­ рять многократно. Чем меньше данных априори, тем длительнее процесс поиска оптимума.

Основными достоинствами факторного эксперимента являются простота и возможность отыскания экстремальной точки (с какой-то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточно гладкая и нет локальных экстремумов.

Основные недостатки факторного эксперимента:

1) невозможность поиска экстремума при наличии ступенчатых разрывов неизвестной поверхности или локальных эктремумов;

2) отсутствие средств описания характера поверхности вблизи экстремальной точки, так как используются простейшие линейные уравнения регрессии.

7.6 ОРТОГОНАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

ПОИСК ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ТОЧЕК С ПОМОЩЬЮ МОДЕЛИ

В окрестности оптимума линейного приближения уже недоста­ точно, доминирующими становятся коэффициенты регрессии, ха­ рактеризующие эффекты взаимодействия. Уменьшение шага при сохранении линейного приближения также неэффективно из-за

272

большой^ влияния помех. Обьино окрестность экстремума, которую назьшаю'А почти стационарной областью, удается описать полино­ мами 2-га порядка. Для этого нужно иметь такую систему планиро­ вания, в м>торой каждая переменная будет принимать хотя бы три разных значения. Такое планирование может быть получено путем добавления некоторого количества специально расположенных то­ чек к ядру! образованному планированием для линейного прибли­ жения. Тгжяе планы называют композиционными, а само планиро­ вание - центоальным композиционным планированием (ЦКП).

Рассмотрим случай, когда число независимых переменных к = 2 при полном вакторном эксперименте, а количество результатов на­ блюдений iV* 4. Нужно построить уравнение регрессии

у = ЙдДГд +ftjJCj+ b2X2 + b^2^l^2 + ^Ц-"'? + ^22^2-

Как мини)у^, необходимы еще две точки для определения всех шести коэффициентов регрессии. Для увеличения общего числа то­ чек вводят так называемые звездные точки (рис. 7.7), по две для ка­ ждой переменной (±а, 0), (О, ± а) и используют центральную точку (0,0). Общее число точек будет равно 9. Такой метод построения точек распространяется и на общий случай к точек. Общее число точек будет равно Л/що, = 2* + 2А: + 1 (А: = 3, Л/ци, = 15, вершины куба - 8 и 6 звездных точек). Если просто для каждой переменной задавать три уровня, то потребовалось бы 3* точек. ЦКП требует меньшего числа опыгов по сравнению с 3*, особенно преимущество ЦКП про­ является с ростом к:

к = 3; 3*=27;	N^=15;
к = 4; 3*=81;	N^=25.

Возникает вопрос, как оптимальным образом выбрать величину плеча звездных точек. При линейном приближении, когда использо­ вался факторный эксперимент, получалось ортогональное планиро­ вание, и дисперсии всех Ь, были минимальны и равны друг другу. В этом состояла огггимальность планирования. Лопьггаемся добиться этих же условий для описания почти стационарной области.

Обеспечение ортогональности планирования. 6 общем случае матрица точек ЦКП не обеспечивает ортогональности всех векто­ ров-столбцов. Так,

273

•n • ^2

-..- 1

a

a

-1

a

-1

Xl

^:

Рис. 7.7. Схема расположения «звездных» точек

«=1

поскольку ^ом S1, и неотрицательные величины xj^ не могут, бьпъ все равны нулю. Очевидно также, что

» -		IU ^ " •
«=1	Ш	Л'

Чтобы получить ортогональность, нужно произвести некоторые преобразования квадратичных переменных и специальньв! образом выбрать величину звездного плеча а. Введем преобразование

где х^ - среднее значение xj.

2 7 4

Тогда будут равны нулю скалярные произведения

н=1 «=1

Неортогрнальными останутся векторы-столбцы для квадратич­ ных членов

N , .
I^m^^^O-	(7-18)

и=1

Если теперь составить матрицу [^Х\, то в ней ряд недиагональ­ ных элементов, а именно элементов для квадратичных переменных, не будет равен нулю (для ортогонального планирования только диа­ гональные элементы будут иметь значение, не равное нулю). При этом, так как все звездные точки выражаются через один и тот же п^аметр а, все недиагональные элементы матри1ц>1, не равные нулю, оказьшаются равны между собой. Поэтому, приравнивая нулю вьфажение для недиагонального элемента, однозначно получим значение а, которое обеспечит ортогональность планирования. Значения а в функции числа независимых переменных к представлены в табл. 7.4.

Таблица 7.4

Величина звездного плеча а

	Число независимых	2	3	4	5
	переменных к
		2^	2'	Г
	Ядро планирования				•^5 ^ -^1 ^2 -^3 ^4
	Величина звездного	1,000	1,215	1,414	1,547
	плеча а

Рассмотрим пример матрицы ортогонального планирования 2-го порядка для случая к = Ъ:

^? = ^ = ^i = ^ | j ^ L = ^ [ 8 + 2-l,2152]=0,73.

Определим для звездных точек х;. = х2 - х2 = 1,475 - 0,73 = 0,745;

л:; = ;с2_х2 = 0-0,73 =-0,73.

Нетрудно убедиться, что все векторы-столбцы матрицы (табл. 7.5) ортогональны. Существующая до преобразований ортогональ­ ность не нарушилась, например

15

15

и=1 м=1

275

м

Ялро2'

Звездные

точкн

Нулевая

точка

	Ортогональный план второго порядка						Таблице			7.5
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
				т				S		y«
Хо	XI	хг	Хз						^
				н			t	4
+	-	-	-	0Л7	0Д7	0^7	f	+	+ . yi
+	+	-	-	0^7	0Д7	0^7	h	-	+	yi
+	-	+	-	0^7	0^7	0^7	-	+	-	Уз
+	-	-	+	0Д7	0Д7	0^7	+	-	-	у*
+	-	+	+	0Д7	0^7	0Д7	-	-	+	y>
+	+	-	+	0^7	0Д7	0^7	-	+	-	У>
+	+	+	-	0Д7	0^7	0^7.	+	-	-	y^
+	+	+	+	0^7	0^7	0Д7	+	+	+	у
+	-U15	0	0	0.745 -0,73 -0,73			0	0	0	у*
+	U15	0	0	0,745	-0,73	-0,73	0	0	0	yit
+	0	-U15	0	-0,73	0.745	-0,73	0	0	0	Уч
+	0	1Л6	0	Ч).73	0.745	-0,73	0	0	0	Уи
+	0	0	-1,2Г5	-0,73	-0,73	0,745	0	0	0	yi3
+	0	0	U15	-0,73	-0,73	0,745	0	0	0	yi*
+	0	0	0	-0,73	-0.73	-0.73	0	0	0	Уи

Видно, что удовлетворяется условие (7.3):

Z*0«(*?„ - 0.73) = 8 • 0,27 + 2 • 0,745 - 5 • 0,73 = 2,16 +1,49 - 3,65 = 0. Превратились в равенства выражения (7.18):

Z («?„ - 0,73)- (х|„ - 0,73)= 8 • 0,27^ - 4 • 0,745 • 0,73 + 3 • 0,73^ = 0.

Регрессионный анализ ортогонального планирования второ­ го порядка. После проведения эксперимента в силу ортогонально­ сти планирования все коэффициенты регрессии определяются неза­ висимо друг от друга.

Так как

с{тт) =	1	1
	(mm)	^ 2

и=1

276

то из формулы (7.7) получаем

N

	Ьщ- —
	N г	ти
	«=1
где т	- пордцковый HOMq) столбца;
•*яга	- элементы соответствующего столбца.

Определяем дисперсию

*2

I =—^—. (7.19)

S - ы

и=1

Для факторного эксперимента мы бы имели

" 2

и=\

для любого т. в данном случае

«/=1

Например, для к = 3 основные соотношения примут следующий вид:

	.N	(7.20)
	14Ни =N;
	и=1
I^m« = 2*^ + 202 = 10,95 приот= 1,2,3;		(7.21)
Z ^ L = I (^?„-х?)'=2Ч1-'5^)+2(а2-^)+(2Л-1)^2		= 4,36
при т = 4,5,6;		^"^'^^^
LL=Hi„^>)^=2'^ = 8		(7.23)
«=1	н=1
при m = 7, 8,9.

277

По выражениям (7.20) - (7.23) может быть подсчитана сумма

'Z^inu дая любого^, если известно значение а. Таким образом, вы-

и=1

числение b и s, для ортогонального планирования незначитель-

НО сложнее, чем при факторном эксперименте.

Уравнение регрессии после преобразования квадратичной пере­ менной запишется в форме

7 = Й;+ 1,Ь.Х.+	I й,ух,.х.+	lb„(x^-xj),
1=1	i*j	1=1
ДЛЯ обычной формы записи -
к		к
7 = *0+ 1*.-^,+ 2 bijX.Xj+ Ib^iXJ,
j=l	i^j	1=1

Очевидно,

*o = *o-I*«4

j=i

При этом коэффициент bo оценивается с дисперсией

,. к

Выражение (7.24) следует из известной теоремы теории вероят­ ностей (закон накопления ошибок):

А-	= 1«?Ф/]-
Za^x.
.1=1	,=1 '

Необходимо отметить, что ортогональное планирование не обеспечивает равенства дисперсий 6, (см. формулу (7.19)).

Выводы

1. Ортогональное планирование эксперимента (по сравнению с неортогональным) уменьшает число опытов и существенно упроща­ ет расчеты при получении уравнения регрессии. Однако такое пла­ нирование осуществимо только при возможности проведения актив­ ного эксперимента.

278

2. Практичным средством отыскания экстремума является фак­ торный эксперимент. Основные достоинства факторного экспери­ мента - простота и возможность отыскания экстремальной точки (с какой-то погрешностью), если неизвестная поверхность достаточ­ но гладкая и нет локальньк экстремумов. Следует отметить два ос­ новных недостатка факторного эксперимента. Первый заключается

вневозможности поиска экстремума при наличии ступенчатых раз­ рывов неизвестной поверхности и локальных экстремумов. Второй -

вотсутствии средств описания характера поверхности вблизи экс­ тремальной точки из-за использования простейших линейных урав­ нений регрессии, что сказьюается на инертности системы управле­ ния, так как в процессе управления необходимо проводить фактор­ ные эксперименты для выбора управляющих воздействий.

3.Для целей управления наиболее подходит ортогональное пла­ нирование второго порядка. Обычно эксперимент состоит из двух этапов. Сначала с помощью факторного эксперимента отыскивается область, где существует экстремальная точка. Затем в районе суще­ ствования экстремальной точки проводится эксперимент для'^полу­ чения уравнения регрессии 2-го порядка.

Уравнение регрессии 2-го порядка позволяет сразу определять управляющие воздействия, без проведения дополнительных опытов или экспериментов. Дополнительный эксперимент потребуется только в случаях, когда поверхность отклика существенно изменит­ ся под воздействием неконтролируемых внешних факторов (напри­ мер, существенное изменение налоговой политики в стране серьез­ ным образом повлияет на поверхность отклика, отображающую производственные затраты предприятия).

Вопросы для самопроверки

1.Какие статистические результаты позволяет получить имитаци­ онная модель, реализованная в любой системе моделирования (например, Pilgrim, ReThink или GPSS)?

2.В чем заключается кибернетический подход к организации экс­ периментальных исследований сложных объектов и процессов?

3.Какие характерные признаки имеет пассивный эксперимент?

4.В каких случаях проводится активный эксперимент?

5.Что такое функция (поверхность) отклика? Как она связана с факторным пространством?

279

6.Как представляется общий вид уравнения регрессии, полученно­ го на основе опыта?

7.Каким образом вычисляются коэффициенты регрессии?

8.Как проводится статистический анализ уравнения регрессии?

9.Для чего применяется ^-распределение?

10.Где применяется /-распределение?

11.Как осуществляется ортогональное планирование эксперимента?

12.Для чего определяются доверительные границы и при каких ус­ ловиях VQi. МОЖНО установить?

13.в чем заключается основное положительное свойство ортого­ нального плана эксперимента?

14.В чем состоит основной недостаток неортогонального планиро­ вания?

15.Для каких целей применяется факторный жсперимент (указать его достоинства и недостатки)?

16.Какие достоинства и недостатки имеет метод крутого восхояадения?

17.В чем состоят отличия между полньш и дробным факторными экспериментами?

18.Для чего необходимо ортогональное планирование второго по­ рядка при проведении экстремального эксперимента?

19.Как осуществляется центральное композиционное плани­ рование?

20.Каким образом можно обеспечить ортогональное планирование второго порядка?

21.Что собой представляет ядро планирования?

22.Как определяется величина «звездного плеча»?

23.Как выполняется регрессионный анализ при ортогональном пла­ нировании второго порядка?

24.Что такое «звездные точки» в ортогональном плане второго по­ рядка?

25.Чем характеризуется нулевая точка ортогонального плана второ­ го порядка?