- •10 Инт. Вида ,
- •11 Инт. Вида
- •3 Извлечение корня из кч
- •1 Кч в алгебраической форме
- •2 Тригонометрическая форма кч
- •3 Извлечение корня из кч
- •4 Основная теорема алгебры и ее следствия
- •7 Инт. Рациональных функций.
- •7 Инт. Рациональных функций.
- •8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
- •4. Формула Ньютона/Лейбница.
7 Инт. Рациональных функций.
Рациональной фун. или дробью наз. отношение двух полиномов, R=P/Q, где .
Дробь R наз. правильной если , и она наз. неправильной если .
Простейшими наз.правильные дроби вида
.
Всякую правильную дробь можно представить суммой простейших дробей, и такое представление ед.
Правило составления суммы: знаменатель разл. на неприводимые множители; каждый множитель порождает столько простейших каков показатель с которым он входит в разложение;
Если дробь R неправильная, то ее можно представить в виде
суммы , где целая часть(полином), а правильная дробь.
, где простейшие дроби.
Инт. от дроби находим по формуле
8 Инт. иррациональных функций
8.1 Инт. дробно-линейных иррац.
8.2 Инт. Биномиальных дифференциалов
1) p целое, 2) (m+1)/n целое, 3) (m+1)/n+p целое.
**8.3 Инт. кв. иррац., подстановки Эйлера
, =
9 Инт. тригон. выражений
9.1 , ;
9.2 , , , ;
9.3 , , , ;
9.4
пр. ,
Опред. интегралы
1. Опред.
2. Свойства ( лин., адд., монот.)
3. Т. о ср.знач.
4. Формула Ньютона/Лейбница.
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
6. Замена переменной
7. Инт. по частям опред. интегралов.
1. Опр. Пусть f опред. и ограничена на отрезке ,
разбиение , ,
ранг разбиения,
инт. сумма f,
предел инт. сумм,
определенным интегралом от f по наз. число ,
если предел , при этом f наз. инт. по Риману.
Пример
Справедлива следующая
Т. Если f опред. и ограничена на отрезке , и имеет там конечное число точек разрыва, то она инт. на .
2. Свойства
1) Лин.
2) Адд.
3) Монот. (1) ; (2)
3. Т. о ср.знач. f непр. на : ,
наз. ср. знач. f на .
док.
4. Формула Ньютона/Лейбница Если f инт. на , и дифф. функция F на : F'=f , тогда .
док.
5. Т. о дифф. по верхнему пределу
Если f непр. на , а , тогда
док.
6. Замена переменной
Пусть f непр. на , непр. дифф. и на ,
,
если на ,
док. использовать формулу Н/Л
7. Инт. по частям опред. интегралов.
Несобственные инт.
1 Опр. несоб. инт. 1-го рода(с бесконечными пределами) , сх и рсх.
Пр.
2 Признаки сх. и рсх.
2.1) Принцип Коши: сх
2.2)Пусть первообразная , сх существует
Пр.
2.3) Признак сравнения: если и сх., то сх.
2.4) Предельный признак сравнения: если и , то инт. и оба сх. или оба рсх.
2.5)Если сх., то сх. инт. ; инт. наз. абс сх.,
обратное не верно!
3 Опр. несоб. инт. 2-го рода(от неограниченных функций), сх и рсх.
4 Признаки сх. и рсх. такие же как для инт. 1-го рода.
Приложения инт.
1 Пл. крив. трапеции и сектора. Пусть f непр. и ≥ 0 на , тогда ее подграфик E наз. крив. трапецией.
Т. Крив. трапеция измерима, и ее пл.
Пусть f непр. , ≥ 0 на и E соответствующий крив. сектор, тогда его пл.
пр. 1) пл. эллипса, 2) пл. 1-ой арки циклоиды , , , пл. фигуры ограниченной кардиоидой.
2 Объем тел вращения, поперечные сечения
пр. объем 1) тора, 2) вокруг OX и OY, 3) эллипсоида
3 Стат. моменты и центр масс крив. трапеции, формулы Гульдина
пр. центр масс полукруга
4 Длина гладкой кривой (гладкого пути)
, ,
5 Пл. поверхности вращения гл. кривой
6 Стат. моменты и центр масс гл. кривой, формулы Гульдина
стат. моменты: , ;
центр масс: , ;
формулы Гульдина: , .
Пр. ЦМ полуокружности.
DУ.
0 Задачи, которые приводят к DУ
1 Основ. понятия и определения.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл, геометрическое толкование.
2 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
2.1 DУ с разделяющимися переменными
2.2 Однородные DУ1
2.3 Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
2.4 DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
2.5 DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера, решение с помощью частных производных, решение инт. параллельно координатным прямым. Инт. множитель зависящий от x или от y
3 Существование и единственность решения ЗК для DУ1
1. Основные понятия и опр. Уравн., содержащее неизвестную фун. и ее производные наз. дифференциальным. Порядком DУ наз. наибольший порядок производной неизвестной фун., которая входит в уравнение.
Т.о. DУ1 имеет вид , его записывают в виде , где непр. в области , DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где непр. в области .
Фун. наз. реш. DУ в , если
1) непр.,
2) ,
3) .
График реш. наз. инт. кривой, само реш. наз. интегралом DУ, особенно когда реш. имеет неявный вид.
Пр.
Реш. DУ , график которого проходит через
: , наз. реш. ЗК с началом . ЗК записывают в виде . Семейство реш. наз. ОР в если , т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω.
Пр. y=(2(x−c)/3)3/2 дает ОР DУ в области y>0.
Если в каждой точке ИК нарушается ед., то она наз. особой.
Пример: y=0 особое решение DУ y = y1/3
2. DУ1, решения которых сводится к интегралам
1 DУ с РП, .
2 ОDУ1, .
Уравн., приводимые к однородным .
3 ЛDУ1 , метод Бернулли, пр. .
4 DУ Бернулли: , 0 и 1, метод Бернулли.
5 Уравн. в полных дифф. Пусть , уравн. наз. в ПD в если левая часть является полным дифференциалом некоторой фун. двух переменных, т.е. u : , тогда ОР имеет вид .
Пусть односвязная область в R2 , а M и N непр. дифф. в , тогда
будет полным дифференциалом т. и т.т. когда выполнено условие Эйлера: в .
6 Уравн. с инт. множителем зависящим от x или от y.
3. Сущ. и ед. решения DУ1.
Рассмотрим (без док) 2 теоремы сущ. и ед. реш. ЗК для DУ в .
1 Т. Пусть 1) непр. в и 2) ограничена в ,
сущ. ед. реш. ЗК с началом в любой точке .
Пример: ЛDУ1 , p и q непр. на .
2 Т. Пусть
1) −прямоугольник : x − x0 a, y−y0 b,
2) f непр. в и значит ограничена: ,
ИК , проходящая через и опред. в промежутке x−x0 h, h=min(a, b/M ), если кроме того 3) ограничена в Ω, то ИК ед.
Пр. 1) ; 2)
*********************************************************************
пропустить
DУ1, неразрешенные относительно y (схемы решений)
1. . Пусть α0 −корень уравнения , тогда y =0 ,
y=0 x+c, 0 =(y c)/x, а F((y c)/x)=0 −общий интеграл, все!
2. . Пусть ,тогда , найдем x: ,
, ; получили общий интеграл в парам. форме: , все!
Пр. .
3. . Пусть p=y ,тогда x=F(p), dy=pdx=pF(p)dp, y= pF(p)dp=(p)+c;общий интеграл: x=F(p), y= (p)+c, все!
Пр. .
4. . Пусть , тогда , dy=Fx dx+Fp dp=pdx ,
получили уравнение для x: , его решение (x, p, c)=0 вместе с y=F(x,p) дают решение исходного уравнения в парам. форме, все!
5. . Пусть p= y, тогда , ,
получили уравнение для y: M(y,p)dy+N(y,p)dp=0, его решение (y,p,c)=0 вместе с x=F(y,p) дает решение исходного уравнения, все!
Пр. xy−y+(1+( y)2 )1/2 =0, y=xy +(1+( y)2 )1/2 , y=xp +(1+p2 )1/2 ,
p=p+xp +pp(1+p2 )1/2 , ( x +p(1+p2 )1/2 ) p =0.
*********************************************************************
DУ2.
1. Определения. DУ2, разрешенное относительно , имеет вид , где f непр. в обл. .
Реш. уравн. наз. фун. : , разумеется .
ЗК заключается в отыскании решения , где , при этом должно быть опред. в некоторой окрест. т. x0 . ЗК записывают в виде . Два последних равенства наз. условиями Коши, т. наз. начальной.
Пусть через проходит ровно одна ИК . ОР наз. семейство решений , зависящее от двух параметров , для которого система разрешима относ. .
Т.о. за счет выбора решается ЗК с началом в любой точке Ω
2 Сущ. и ед. решения.
Т. Пусть 1) f непр. в Ω, 2) огранич. в Ω ЗК в Ω имеет ед. реш.
Пр.1) , 2) , p, q непр. на .
3 Понижение порядка. Имеются частные случаи DУ2, когда оно сводится к DУ1, такая процедура наз. понижением порядка.
1) , имеем ,
2) , пусть z= y , тогда z = f(x, z ), это DУ1, решим его
z = (x, c1 ), теперь y = (x, c1 ), . Пр.
3) , пусть z= y , тогда ,это DУ1, решим его z = (y, c1 ), теперь y = (y, c1 ), это DУ с РП, его решение:
dy/ (y, c1 )=x + c2 плюс y= , где ( , c1 )=0.
Пр. 1) ; 2) ; 3) .
ЛDУ
1. Опред. Пусть n≥1, ЛDУ n−го порядка наз. уравнение вида
, где функции непр. на [a,b]. Уравнение опред. в полосе, которая занимает (a,b) вдоль x , а y, y, … y(n−1) могут принимать любые значения.
Левую часть обозначим через , так что ЛDУ удобно записывать в виде . Уравн. наз. однородным если и неоднородным если .
Пр. 1) −ЛНDУ1, можно решить по формуле ОР,
2) −ЛОDУ2, можно понизить порядок,
3) −это знаменитое уравнение Эри, решение которого можно представить с помощью степенного ряда.
Вид ЛDУ обеспечивает однозначную разрешимость ЗК всюду в полосе. Для ЛDУ2 это означает, что для любого набора
x0 (a,b), y0 , z0 R сущ. ед. решение y : y( x0 )= y0 , y( x0 )= z0 .
Более того, для ЛDУ теорема сущ. утверждает, что решение ЗК опред.
во всем интервале (a,b).
Введем понятие лин. завис. и незав. фун. Конечный набор функций наз. лин. завис., если сущ. числа 1, 2, …m , не все =0, такие, что , если сумма =0 лишь когда все i =0, то набор наз. лин. незав.
Т. Набор функций лин. зависим одна из функций равна лин. комбинация других: , при некотором j.
Пр. 1) − лин. незав.
2) − лин. завис.
3) − лин. незав.
определитель Вронского набора функций.
Т. Набор лин. зависим
док: один из столбцов W = лин. комбинации других,
2. ЛОDУ (структура общего решения)
Рассмотрим однородное уравнения .
1. Множ. всех решений ЛОDУ образует лин. пространство: их можно складывать и умножать на числа как векторы. Это следует из линейности выражения :
2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x
док: допустим что x0 : , тогда столбцы в лин. зав., , рассмотрим решение ,
по теореме ед. , что противоречит лин. незав., все!
3. Пусть решения уравнения , набор
лин. независимый .
4. Опред. ФСР ЛОDУn наз. лин. незав. набор из n его решений.
Пример − ФСР уравнения .
5. Для ЛОDУ n−го порядка сущ. ФСР .
док: n=2, берем x0 , y1 – решение ЗК с началом в т. , а y2 – решение ЗК с началом в т. , набор y1 , y2 – ФСР, т.к. .
6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.
док: всякая такая комбинация является решением, это следует из лин., любое решение ЗК реализуется в таком виде, это следует из того, что W(x) 0 x , все!
3. ЛОDУ2 с постоянными коэфф.
Рассмотрим уравн. , где p, q − действ. числа. Будем искать решение в виде y=exp(x) , подстановка дает кв. уравн. 2+p+q=0 , оно наз. характ. Пусть d=p2/4−q дискриминант
1) −два действ. различных корня,
y1=exp(1x) и y2=exp(2x) образуют ФСР (доказать)
ОР y=c1 exp(1x)+c2 exp(2x) ;
2) d=0: 1=2=−p/2 −действ. корень крат. 2 , y1=exp(1x), покажем, что y2=xexp(1x) тоже решение:
L2(xex )=L2(dex /d)=dL2(ex )/d=d((2 +p+q)ex )/d=
(2 +p)ex +x(2 +p+q)ex =0 при =1 , y1 , y2 образуют ФСР (доказать)
ОР y=(c1 +c2 x)exp(1x) ;
3) d<0: 1,2=−p/2 ±i(−d)1/2 = ± iβ −пара сопряженных корней, составляем комплексные решения z1,2=e(x± iβ)x=ex(cosβx±isinβx);
действ. решения y1 =ex cosβx , y2 =ex sinβx образуют ФСР (доказать)
ОР y= ex(c1 cosβx+c2 sinβx).
4. ЛНDУ
Рассмотрим неоднородное уравнения .
1. Теорема. ОР ЛНDУ имеет вид , где z –ЧР ЛНDУ, а − ОР ЛОDУ .
2. Отыскание ЧР ЛНDУ2 с пост. коэфф. и с прав. частью спец. вида
y +a y+b y = f(x), a, b R1 ;
2.1)
, где r крат. как корня характ. уравн.,
пр. y − y =x , y − y=x .
2.2)
, где r крат. как корня характ. уравн
пр. y +4y=cosx , y + y=sinx .
2.3)
, Uk , Vk полиномы степ. k=max(m, n).
2.4) Суперпозиция решений f = f1 + f2 , z1 –ЧР ЛНDУ f1 , а z2 f2
z= z1 + z2 f
3 Метод Лагранжа
Рассмотрим ЛНDУ2 .
ОР ЛОDУ2 y=c1y1+ c2y2 , где y1 ,y2 − ФСР.
Ищем решение НУ в виде
z=c1 (x)y1+ c2 (x)y2 , где c1(x), c2(x) подлежат определению,
дифференцируем z=c1 y1+c2 y2 + c1 y1 + c2 y2
полагаем c1 y1+c2 y2 =0, тогда z= c1 y1+c2 y2
дифференцируем еще раз z= c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2,
потребуем чтобы L2(z)= f(x):
c1 y1+c2 y2+c1 y1+c2 y2+p(x)(c1 y1+c2 y2 )+ q(x)(c1 y1+ c2 y2 )= f(x),
c1 y1+c2 y2 = f(x)
получили лин. систему c1 y1+c2 y2 =0, c1 y1+c2 y2 = f(x)
ее опред. W≠0, находим производные c1 и c2 ,
и после интегрирования функции c1 и c2 , а значит и z, все!
пр. .
СDУ. 1. Основные понятия и опред.
1. Нормальной СDУ наз. набор уравн. вида
...
где fi i1..n непр. в области Rn+1 .
Каждое уравнение НС 1−го порядка, разрешенное относ. производной. На самом деле уравнение вида y(n)=f(x, y, y,…y(n1)) можно переделать в НСDУ.
Пр. y= f(x, y, y ): t=x, x1=y, x2=y x1=x2 , x2= f(t, x1 ,x2 ).
2. Решением СDУ наз. набор фун. 1,2,…n , опред. на интервале
( , β) : k(t)=fk (t, 1 (t), 2 (t),… n (t)) t( , β) k1..n
3. Удобно записывать НСDУ в векторной форме: , где
, , , решение СDУ будет векторная функция = (1,…n ): (t)=f (t, (t)) t( , β)
4. ЗК для СDУ записывается в виде , , т. наз. начальной. ОР наз. семейство решений , зависящее от n констант, за счет выбора которых можно решить ЗК с началом в любой т. из Ω.
2 Сущ. и ед. решения НСDУ
Пусть 1) все фун. непр. в Ω , 2) все ЧП ограничены в Ω ,
тогда сущ. ед. решение ЗК с началом в любой т. из Ω.
3 Метод исключения
Для определенности рассмотрим систему из 2-х уравнений
,
Берем 1-е уравн. и дифф. его
.
В результате получаем систему
исключаем x2 и получаем DУ2 относительно x1 .
Пр.
окончание 2-го семестра
****************************************************************************
ФМП
Невырожденные поверх. 2-го порядка
эллипсоид 1)
гиперболоиды 2) 3)
конус 4)
параболоиды 5) 6)
цилиндры 7) 8) 9)
Опр. фмп. Обозначим через множ. всех упорядоченных пар действительных чисел; так что элемент из имеет вид , .
Пусть , фун. двух переменных наз. правило , которое
ставит в соответствие опред. число , при этом наз. обл. опр. .
Пр. ; ;
Подобным образом опр. фун. трех переменных
Пр. ; ;
Предел и непр. Открытым кругом в с центром в т. и радиуса r наз. множ. всех для которых , такой круг наз. окр. т. .
Пусть , наз. предельной т. если ее окр. содержит т. из отличную от .
Число наз. пределом в т. : если >0
: как только и .
Пр. , , ,
Фун. f наз. непр. в т. если она опр. в т. и
Частные производные и дифференциал
1 ЧП. Пусть фун. 2-х переменных, частной производной (1-го порядка) f в т. по x наз. число если предел , ЧП обозначают так , если , сходным образом вводится ЧП .
ЧП выч. по обычным правилам и формулам дифф., надо лишь учитывать что при выч. ЧП по x величина y=const, и наоборот x=const когда берется ЧП по y.
2 Дифференциал. Пусть , она наз. дифф. в т. если ее приращение ,
гл. часть лин. относительно и наз. дифференциалом и обозначается . Пр. (вычислить!)
Теорема 1(необх. условие дифф.)
дифф. в т. непр. в т. и , .
Пр.
Теорема 2(дост. условие дифф.)
и непр. в т. дифф. в т.
Свойства d
Приложение d
основано на соотношении :
Пр.
3 Дифференцирование сложных функций
(A) Пусть 1) дифф. в т.
2) дифф. в т. t0
3)
4)
h дифф. в т. t0 и
(B) Пусть 1) дифф. в т.
2) дифф. в т.
3)
4)
h дифф. в т. и ,
Инвариантность формы дифференциала.
Пр.
4 Повторное дифференцирование.
Опред. ЧП 2-го порядка наз. ЧП от ЧП 1-го порядка.
Пр. , оператор Лапласа u=0.
Пусть , тогда можно образовать 4 ЧП 2го порядка:
Теорема там, где они непрерывные
док. берем
= , дважды применяем формулу Лагранжа и переходим к пределу .
если ЧП 2го порядка фун. n переменных непр., то их всего n(n+1)/2
Опред. Пусть , =
5 Производная по направлению и градиент
Пусть и ненулевой вектор(направление),
производной в т. в направлении наз. число
, если предел .
Можно считать что орт. Положим , а
) производная в нуле справа.
По теореме о производной сложной функции, получим
скалярное произведение.
Вектор наз. градиентом в т. ,
проекция градиента на .
Если орт градиента, то .
Т.о. дает направление наибольшего возрастания ,
а его длина = скорости возрастания.
6 Касательная плоскость
Опр. Пусть задана в окрестности U т. , S ее график,
и , , плоскость , проходящая через наз. касат. к S в т. если
при условии, что .
Теорема о касат. плоскости. S имеет касат. плоскость в т. дифф. в т. , при этом уравн. имеет вид:
вектор , и смотрит вверх,
а уравн. нормали
Пр. .
Экстр. фун. двух переменных
Опр. Пусть опред. в открытом множ. R2 , наз. т. мин., если из некоторой окр. т. выполняется неравенство
, при этом наз. мин. значением, если неравенство является строгим, то наз. т. строгого мин. Подобным образом опред. т. макс. и макс. значение. Экстремум объединяет мин. и макс.
Теорема. Если т. экстремума и и ,
то
Опр. наз. стац. т. если .
Т.о. если т. гл. экстремума, то стац. т., обратное неверно.
Пр. , (0, 0) стац. т. но в ней нет экстремума .
Дост. условия экстр.(n=2)
Пусть 2 раза непр. дифф. в окр. стац. т. ,
положим ,
1) если , то т. экстр., мин. при и макс.
при ;
2) если , то в т. нет экстр.
3) если , то необх. дополнительное исследование
Квадратичные формы
Кв. формой в Rn наз. выраж. вида ,
матрица кв. формы q,
q наз. положительно опред. если ,
q наз. отрицательно опред. если
q наз. знакопеременной если она принимает значения как >0 так и <0.
Пр.
Обозначим через диагональные миноры матрицы A
Критерий Сильвестра определенности кв. формы:
(С1) q положительно опред. все
(С2) q отрицательно опред. и т.д.
Достаточные условия экстремума(n≥2)
Пусть фун. 2 раза непр. дифф. в окр. стац. т. ,
и q кв. форма с коэфф. ,
(Э1) если q положительно опред., то т. min
(Э2) если q отрицательно опред., то т. max
(Э3) если q знакопеременная, то в т. нет экстр.
Пр.
Неявные функции
1 НФ 1-й переменной. Пусть опред. в окр. V т. x0 , она наз. неявно заданной уравнением если .
Здесь фун. двух переменных, задана в круге U с центром в т. , где . Пр. .
Теорема. Пусть 1) , непр. в U, 2) , 3) ,
тогда непр. дифф. НФ и
2 НФ 2-х переменных
Опр. Пусть определена в окрест. V т. , она наз. неявно заданной уравнением если . Здесь фун. трех переменных , задана в шаре U с центром в т. , где . Пр. .
Теорема. Пусть (n≥2)
1) y , xi непр. в U(X0 , y0) при всех i ,
2) y (X0 , y0) 0,
3) (X0 , y0)= 0,
тогда непр. дифф. НФ y=f(X) и fxi(X)= xi /y
Приложение: касат. плоскость к поверхности заданной неявно.
, ,
x(M0 )(x x0 )+ y(M0 )(y y0 )+ z(M0 ) (z z0 )=0 касательная плоскость к S в т. M0 ,
(x x0 )/ x(M0 )= (y y0 )/ y(M0 )= (z z0 )/ z(M0 ) уравнение нормали.
DУ
1 Задачи, которые приводят к DУ
2 Основ. понятия и опред.
DУ, порядок, DУ1, решение, ЗК, ОР, частное, общий интеграл,
геометрическое толкование.
3 Некоторые типы DУ1, решение которых сводится к инт.
DУ с разделяющимися переменными
Однородные DУ1
Лин. DУ1, методы вариации и Бернулли
DУ Бернулли, сведение к лин. уравнению, метод Бернулли
DУ в полных дифференциалах, условие Эйлера,
решение с помощью частных производных,
решение инт. параллельно координатным прямым
Инт. множитель зависящий от x или от y
4 Сущ. и ед. решения ЗК для DУ1
5 DУ2
Основ. понятия. Вид, решение, ЗК, ОР, сущ. и ед. решения ЗК
Понижение порядка
ЛDУ. Основ. понятия и опред.
вид , однородные и неоднородные уравн.,
пр. 1) , 2) , 3)
сущ. и ед. решения ЗК (определено во всем интервале (a,b))
лин. завис. и незав. теорема о лин. завис.
Пр. 1) , 2) , 3)
опред. Вронского W(x)
Т. Набор лин. зависим
ЛОDУ
1. Множ. решений ЛОDУ образует лин. пространство
2. Если лин. незав. решения ЛОDУn, то W(x) 0 x
3. Пусть решения уравн. ,
набор лин. незав. W(x) 0 x.
4. Опред. ФСР ЛОDУn , пример −ФСР уравн. .
5. Для ЛОDУn сущ. ФСР .
6. ОР ЛОДУn имеет вид , где − ФСР.
ЛОDУ2 с пост. коэфф.
ЛНDУ
ОР, нахождение частного решения ЛНDУ2 с пост. коэфф.
Метод Лагранжа
СDУ
1 Основ понятия и опред. норм. форма, ЗК и ОР
2 Сущ. и ед. решения ЗК
3 Метод исключения