- •Введение.
- •Часть 1. Элементы теории вероятностей.
- •§ 1. Случайная величина. Задание законов ее распределения.
- •§ 2. Числовые характеристики случайной величины.
- •§ 3. Законы распределения вероятностей дискретных случайных величин.
- •Равномерное распределение вероятностей дискретной случайной величины.
- •2. Биномиальное распределение вероятностей дискретной случайной величины.
- •3. Закон распределения Пуассона.
- •4. Гипергеометрическое распределение вероятностей дискретной случайной величины.
- •5. Геометрическое распределение вероятностей дискретной случайной величины.
- •§ 4. Законы распределения вероятностей непрерывных случайных величин.
- •1. Равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
- •2. Экспоненциальное (показательное) распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
- •3. Нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.
- •4. Распределения, связанные с нормальным распределением.
- •5. Распределение Вейбулла.
- •§ 5. Оценка отклонения теоретического распределения от нормального. Асимметрия и эксцесс.
- •Часть 2. Элементы математической статистики.
- •§ 1. Выборка и ее распределение.
- •§ 2. Статистические оценки.
- •1. Несмещенные, эффективные и
- •3. Другие характеристики вариационного ряда.
- •4. Эмпирические моменты.
- •5. Асимметрия и эксцесс эмпирического распределения.
- •6. Число степеней свободы.
- •7. Точечная и интервальная оценки.
- •8. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном и в случае неизвестного .
- •9. Доверительный интервал для оценки среднего
- •§ 3. Проверка статистических гипотез.
- •§ 4. Проверка гипотезы о распределении генеральной совокупности. Критерий Пирсона. Критерий Колмогорова.
- •Часть 3. Примеры анализа экспериментальных данных.
- •§ 1. Общие положения.
- •§ 2. Составление вариационного ряда. Графическое представление результата. Нахождение среднего значения и дисперсии.
- •§ 3. Проверка гипотезы о распределении Вейбулла.
- •І. Применение критерия Пирсона.
- •Іі. Применение критерия Колмогорова.
- •§ 4. Проверка гипотезы о показательном распределении случайной величины.
- •І. Применение критерия Пирсона.
- •Іі. Применение критерия Колмогорова.
- •§ 5. Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
- •І. Применение критерия Пирсона.
- •Іі. Применение критерия Колмогорова.
- •§ 6. Замечания.
- •§ 7. Применение вычислительной техники.
- •Задания и варианты данных для лабораторной работы.
- •Часть 4. Применение элементов математической статистики.
- •§ 1. Применение элементов математической статистики для оценки надежности машин.
- •§ 2. Применение элементов математической статистики при обосновании параметров зерноочистительной машины.
- •Заключение.
- •Приложение.
- •Значения коэффициентов вариации для различных законов распределения.
- •Критерий Колмогорова .
- •Значения коэффициентов распределения Вейбулла
- •Значения чисел в зависимости от
- •Отклонения
- •Литература.
- •§4. Законы распределения вероятностей непрерывных
Іі. Применение критерия Колмогорова.
Подсчитаем . Вычисления представим в таблице:
Интервалы
|
|
|
|
|
|
0-300 |
17 |
0,17 |
0,3 |
0,15 |
0,02 |
300-600 |
19 |
0,36 |
0,6 |
0,37 |
0,01 |
600-900 |
19 |
0,55 |
0,9 |
0,57 |
0,02 |
900-1200 |
15 |
0,70 |
1,2 |
0,73 |
0,03 |
1200-1500 |
14 |
0,84 |
1,5 |
0,84 |
0,00 |
1500-1800 |
6 |
0,90 |
1,8 |
0,91 |
0,01 |
1800- |
10 |
1,00 |
|
1,00 |
0,00 |
Сумма Σ |
100 |
|
|
|
D=0,03 |
|
|
|
|
|
|
Таблица 9
Определив меру расхождения между теоретическим и эмпирическим распределением =0,03, вычисляем величину
=0,03 =0,3.
По таблице из Приложения 5 находим критическое значение определенное на уровне значимости α=0,1: =1,22. Т.к. , то считают, что нулевая гипотеза о том, что случайная величина Х имеет заданный закон распределения, не противоречит опытным данным.
§ 4. Проверка гипотезы о показательном распределении случайной величины.
По данным рассмотренного выше примера выдвинем гипотезу о виде распределения и проверим ее на уровне значимости по критерию согласия и по критерию Колмогорова.
Гистограмма опытных значений похожа на плотность показательного распределения и на плотность распределения Вейбулла. Выше было показано, что данное распределение является распределением Вейбулла. В данном параграфе приведем методику подсчета в случае гипотезы о том, что данное распределение является показательным. Высказываем нулевую гипотезу : имеет показательное распределение с функцией распределения и плотностью вероятности:
.
Интервалы начинаются от 0, т.к. при . За параметр распределения взято число . Таким образом,
Для показательного распределения
.
І. Применение критерия Пирсона.
Подсчитаем - опытное значение критерия . Вычисления представим в виде таблицы.
Интервалы
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 – 300 |
0,3 |
17 |
0,26 |
0,26 |
26 |
-9 |
3,06 |
|
300 – 600 |
0,6 |
19 |
0,45 |
0,19 |
19 |
0 |
0,00 |
|
600 – 900 |
0,9 |
19 |
0,59 |
0,14 |
14 |
5 |
1,78 |
|
900 – 1200 |
1,2 |
15 |
0,70 |
0,11 |
11 |
4 |
1,45 |
|
1200 – 1500 |
1,5 |
14 |
0,78 |
0,08 |
8 |
6 |
4,50 |
|
1500 – 1800 |
1,8 |
6 |
0,83 |
0,05 |
5 |
1 |
0,20 |
|
1800 – |
|
10 |
1,00 |
0,17 |
17 |
-7 |
2,89 |
|
Сумма Σ |
|
100 |
|
1 |
|
|
13,88 |
Таблица 10
=3,06+0,00+1,78+1,45+4,50+0,20+2,89=13,88.
Пояснения по составлению таблицы. Интервалы начинаются с 0, т.к. плотность показательного распределения равна 0 при . Последние три интервала объединим в один, т.к. в каждом из них было . Полученный интервал также имеет число значений , по этому объединим его с четвертым с конца интервалом. Во втором столбце таблицы подсчитаны для правых концов интервалов значения . Из таблицы, приведенной в Приложении 4 ( при распределение Вейбулла совпадает с показательным распределением), по значениям выписываем в четвертый столбец. В пятом столбце с точностью до 0,01 подсчитаны при нулевой гипотезе вероятности попадания в интервалы , для . Например, , и т.д., причем .
Из таблицы распределения (см. Приложение 3) по уровню значимости и числу степеней свободы находим .
Сравниваем и . Получаем, что 13,88>9,24, т.е
> .
Следовательно, гипотеза о показательном распределении на уровне значимости не подтверждается опытным путем. Т.о. нулевую гипотезу отклоняем.